8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积（word教参)-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

8.3　简单几何体的表面积与体积 8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 （见学生用书P67） [学习目标]1.知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式（重点）.2.能用公式解决简单的实际问题.3.发展数学建模、数学运算和直观想象的核心素养. 必备知识·基础落实 要点一　棱柱、棱锥、棱台的表面积 图形 表面积公式 多面体 多面体的表面积就是围成多面体　各个面　的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和 要点二　棱柱、棱锥、棱台的体积 1.棱柱的体积 （1）棱柱的高：指　两底面　之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离. （2）棱柱的底面积为S，高为h，其体积V棱柱＝　Sh　. 2.棱锥的体积 （1）棱锥的高：指从顶点向底面作垂线，　顶点　与　垂足　（垂线与底面的交点）之间的距离. （2）棱锥的底面积为S，高为h，其体积V棱锥＝　Sh　. 3.棱台的体积 （1）棱台的高：指　两底面　之间的距离. （2）棱台的上、下底面面积分别是S'，S，高为h，其体积V棱台＝　h（S'＋＋S）　. 4.体积公式之间的关系 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）棱锥的体积等于底面面积与高之积. （　　） （2）棱台的体积可转化为两个棱锥的体积之差. （　　） （3）一个几何体的平面展开图一定相同，其表面积一定确定. （　　） （4）简单组合体分割成几个几何体，其表面积和体积都不变. （　　） 解析（1）错误，还要乘以三分之一. （2）正确，棱台是截棱锥所得. （3）错误，不同的展开方式，几何体的平面展开图不一定相同，表面积是各个面的面积和，几何体的平面展开方法可能不同，但其表面积唯一确定. （4）错误，表面积变大，而体积不变. 答案（1）×　（2）√　（3）×　（4）× 关键能力·素养提升 探究一　棱柱、棱锥、棱台的表面积 　　规律总结　　　　　　　　　　　 棱柱、棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形（或梯形）求解. 【例题1】如图，已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S－ABC，求它的表面积. 题图 解析如图，过点S作SD⊥BC，交BC于点D. 答图 因为BC＝a，SD＝＝＝a， 所以S△SBC＝BC·SD＝a×a＝a2. 因此四面体S－ABC的表面积S＝4×a2＝a2. 【变式1】现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积. 解析如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，体对角线A1C＝15，B1D＝9， 所以a2＋52＝152，b2＋52＝92， 所以a2＝200，b2＝56. 因为该直四棱柱的底面是菱形，所以AB2＝＋＝＝＝64， 所以AB＝8.所以直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160. 探究二　棱柱、棱锥、棱台的体积 　　解题技巧　　　　　　　　　　　 求几何体体积的常用方法 （1）公式法：直接代入公式求解. （2）等积法：例如四面体的任何一个面都可 以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可.（3）补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等. （4）分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积. 【例题2】（1）（2022·新高考Ⅰ）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为（≈2.65）（　　） A.1.0×109 m3 B.1.2×109 m3 C.1.4×109 m3 D.1.6×109 m3 （2）已知四面体A－BCD中，AB＝CD＝，BC＝AD＝2，BD＝AC＝5，则四面体A－BCD的体积为　　　　. 解析（1）依题意可知棱台的高为MN＝157.5－148.5＝9（m），所以增加的水量即为棱台的体积V.棱台上底面面积S＝140.0 km2＝140×106 m2，下底面面积S'＝180.0 km2＝180×106 m2，所以V＝h（S＋S'＋）＝×9×（140×106＋180×106＋）＝3×（320＋60）×106≈（96＋18×2.65）×107＝1.437×109≈1.4×109 （m3）.故选C项. （2）如图，以四面体的各棱为面对角线还原为长方体. 设长方体的长、宽、高分别为x，y，z， 则解得 因为＝DE·S△ABE＝V长方体， 所以＝V长方体－4×V长方体＝V长方体. 而V长方体＝2×3×