7.3 复数的三角表示（word教参)-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

7.3　复数的三角表示* （见学生用书P54） [学习目标]1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示.2.了解复数的代数表示与三角表示之间的关系.3.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.4.发展数学抽象和数学运算的核心素养. 必备知识·基础落实 要点一　复数的三角表示式 1.定义 如图所示，一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r（cos θ＋isin θ）的形式.其中，r是复数z的　模　；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的　辐角　.r（cos θ＋isin θ）叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式.a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式. 2.辐角的主值 规定在　0≤θ＜2π　范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记作　arg z　，即　0≤arg z＜2π　. 3.复数的两种形式的互化 （1）在a＋bi＝r（cos θ＋isin θ）中，r＝　　，cos θ＝　　，sin θ＝　　. （2）在r（cos θ＋isin θ）＝a＋bi中，a＝　rcos θ　，b＝　rsin θ　. 要点二　复数乘、除运算的三角表示及其几何 意义 1.复数乘法运算的三角表示 如果z1＝r1（cos θ1＋isin θ1），z2＝r2（cos θ2＋isin θ2），那么z1z2＝r1（cos θ1＋isin θ1）·r2（cos θ2＋isin θ2）＝　r1r2[cos（θ1＋θ2）＋isin（θ1＋θ2）]　. 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. 2.复数乘法的几何意义 两个复数z1，z2相乘时，可以像图中那样，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角　θ2　（θ2＞0，如果θ2＜0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角　｜θ2｜　　），再把它的模变为原来的　r2　倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2. 3.复数除法运算的三角表示 如果z1＝r1（cos θ1＋isin θ1），z2＝r2（cos θ2＋isin θ2），且z1≠z2，z2≠0，那么＝＝　[cos（θ1－θ2）＋isin（θ1－θ2）]　.这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 4.复数除法的几何意义 如图，复数z1，z2对应的向量分别为，，把绕点O按顺时针方向旋转角　θ2　（θ2＞0，如果θ2＜0，就要把按逆时针方向旋转角　｜θ2｜　　），再把它的模变为原来的　　，得到向量，表示的复数就是商. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）z＝r（cos θ＋isin θ）是复数z＝a＋bi的三角形式，其中θ的值有无数个. （　　） （2）arg 2 022＝0. （　　） （3）任何一个不等于零的复数的辐角的主值都是唯一的. （　　） （4）两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.（　　） 解析（1）正确，终边相同的角的三角函数值相等. （2）正确，2 022＝2 022（cos 0＋isin 0）. （3）正确，任何一个不为零的复数的辐角的主值都是唯一的. （4）正确，若复数的模与辐角的主值相等，则实部和虚部分别相等. 答案（1）√　（2）√　（3）√　（4）√ 关键能力·素养提升 探究一　复数三角形式的有关概念 　　解题技巧　　　　　　　　　　　 判断复数的三角形式与求解复数的辐角的主值，要严格按照复数的三角表示式进行，对于不是以复数的三角形式表示的式子，要根据复数三角形式的定义将其转化，再进一步判断. 【例题1】复数z＝2（cos 30°－isin 30°）的辐角的主值是 （　　） A.30° B.150° C.210° D.330° D　解析因为z＝2（cos 30°－isin 30°）＝2（cos 330°＋isin 330°），所以其辐角的主值是330°.故选D项. 【变式1】当0＜θ＜时，复数z＝tan θ＋i的辐角的主值是 （　　） A.θ B.－θ C.π－θ D.－θ B　解析z＝tan θ＋i＝＋i＝（sin θ＋i·cos θ）＝.故选B项. 探究二　复数的代数形式与三角形式的互化 　　规律总结　　　　　　　　　　　 （1）将复数的代数形式化为三角形式，其步骤是求出模r、确定复数对应的点所在的象限、求出辐角θ、写成三角形式r（cos θ＋isin θ）. （2）将复数的三角形式化为代数形式，先求复数的实部a＝rcos θ和虚部b＝rsin θ，再将复数写成代数形式a＋bi. 【例题2】画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式. （1）1＋i； （2）－＋i. 解析（1）复数1＋i对应的向量