7.1.1 数系的扩充和复数的概念（word教参)-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

第七章　复　数 7.1　复数的概念 7.1.1　数系的扩充和复数的概念 （见学生用书P42） [学习目标]1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程.2.通过方程的解，认识复数并了解复数的相关概念.3.理解复数的代数表示和两个复数相等的含义（重点）.4.发展数学抽象和数学运算的核心素养. 必备知识·基础落实 要点一　复数的有关概念 1.复数 （1）定义：形如a＋bi的数叫做复数，其中a，b∈　R　，i叫做　虚数单位　，a叫做复数的　实部　，b叫做复数的　虚部　. （2）表示方法：复数通常用字母　z　表示，即　z＝a＋bi　（a，b∈R）. 2.复数集 （1）定义：　全体复数　所构成的集合{a＋bi｜a，b∈R}叫做复数集. （2）表示：通常用大写字母　C　表示，即C＝{a＋bi｜a，b∈R}. 要点二　复数的分类 1.复数的分类 复数a＋bi（a，b∈R） 2.集合表示 思考：（1）数系的扩充脉络是什么？ （2）0是复数吗？ 提示（1）自然数集→整数集→有理数集→实数集→复数集. （2）0既是实数也是复数，可写成a＋bi（a，b∈R）的形式为0＋0i，即0的实部和虚部都是0. 要点三　复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔　a＝c且b＝d　. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）中，虚部为bi. （　　） （2）复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小. （　　） （3）方程x2＋x＋1＝0没有解. （　　） （4）如果两个复数的实部的差和虚部的差都为0，那么这两个复数相等. （　　） 解析（1）错误，复数z＝a＋bi（a，b∈R）的虚部为b. （2）错误，虚数不可以比较大小. （3）错误，方程x2＋x＋1＝0无实数解，但有虚数解. （4）正确，实部和虚部的差都为0表示这两个复数的实部和虚部相等，所以这两个复数相等. 答案（1）×　（2）×　（3）×　（4）√ 关键能力·素养提升 探究一　复数的概念 　　误区防错　　　　　　　　　　　 在复数z＝a＋bi（a，b∈R）中应注意的两点： （1）a，b∈R，这是确定z的实部、虚部的前提，并可进一步判定z是实数、虚数还是纯虚数. （2）设复数z时，要注明a，b的范围，如果z是纯虚数，可设z＝bi（b∈R且b≠0）；如果z是虚数，可设z＝a＋bi（a，b∈R且b≠0）.形如bi的数不一定是纯虚数，只有b∈R且b≠0时，bi才是纯虚数. 【例题1】下列命题中，真命题的个数是 （　　） ①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1； ②若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i； ③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0. A.0 B.1 C.2 D.3 A　解析①因为x，y∈C，当x＝i，y＝－i时，x＋yi＝1＋i，所以①是假命题；②因为两个虚数不能比较大小，所以②是假命题；③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，所以③是假命题.故真命题的个数是0.故选A项. 【变式1】 （多选）下列命题中正确的是 （　　） A.两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等 B.两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等 C.1－ai（a∈R）是一个复数 D.i2（i是虚数单位）是虚数 ABC　解析对于A项，两个复数相等可以推出它们的实部相等，故A项正确；对于B项，两个复数的虚部不相等可以推出这两个复数不相等，故B项正确；对于C项，1－ai（a∈R）可能是实数，也可能是虚数，实数和虚数都属于复数，故C项正确；对于D项，i2＝－1是实数，故D项错误.故选ABC项. 探究二　　复数的分类 　　解题技巧　　　　　　　　　　　 求解复数的分类问题的关键 （1）要判定一个复数是什么类型的数，首先要分清复数的实部和虚部及它们对复数的分类的影响，然后结合定义求解. （2）依据复数的类型求参数时要先确定参数的取值使代数式有意义，再结合实部与虚部的取值求解.要特别注意复数z＝a＋bi（a，b∈R）为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0. 【例题2】当实数m为何值时，复数z＝＋（m2＋5m＋6）i是下列数？ （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数. 解析由已知得复数z的实部为，虚部为m2＋5m＋6. （1）复数z是实数的充要条件是解得m＝－2，所以当m＝－2时，复数z是实数. （2）复数z是虚数的充要条件是解得m≠－3且m≠－2，所以当m≠－3且m≠－2时，复数z是虚数. （3）复数z是纯虚数的充要条件是解得m＝3，所以当m＝3时，复数z是纯虚数. 【变式2】设复数z＝m2－2m－3＋（m2＋3m＋2）i，试求实数m取何值时，z是下列数？ （1）实数； （2）纯虚数. 解析（1）由m2＋3m＋2＝0，解得m＝－1或－2，所以当