6.4.3 第2课时 正弦定理（word教参)-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

第二课时　正弦定理 （见学生用书P31） [学习目标]1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握正弦定理（重点）.2.发展逻辑推理和数学运算的核心素养. 必备知识·基础落实 要点一　正弦定理 1.定义 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝＝　2R　，其中R是三角形外接圆的半径. 2.正弦定理的推论 （1）a∶b∶c＝　sin A∶sin B∶sin C　. （2）a＝　2Rsin A　，b＝　2Rsin B　，c＝　2Rsin C　. （3）sin A＝，sin B＝，sin C＝. （4）＝＝＝ . 3.正弦定理可解决的两类问题 （1）已知　两角和一边　，解三角形. （2）已知　两边和其中一边的对角　，解三角形. 4.三角形的面积公式 S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝（a＋b＋c）r，其中R是三角形外接圆的半径，r是三角形内切圆的半径. 思考： 在△ABC中，若sin A＞sin B，是不是一定有A＞B？反之，若A＞B，是不是一定有sin A＞sin B？ 提示设R为△ABC外接圆的半径，根据正弦定理可得sin A＝，sin B＝，所以若sin A＞sin B，一定有a＞b，于是A＞B.反之，由A＞B可得a＞b，再由a＝2Rsin A，b＝2Rsin B知，一定有sin A＞sin B. 要点二　已知两边和其中一边的对角解三角形情况的分布 0°＜A＜90° 90°≤A＜180° 图形 关系式 a＜bsin A a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b a≤b 解的 情况 无解 一解 两解 一解 一解 无解 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）正弦定理适用于任意三角形. （　　） （2）在△ABC中，等式AC·sin A＝BC·sin B总能成立. （　　） （3）在△ABC中，内角A，B所对的边分别为a，b，若已知a，b，A，则此三角形有唯一解. （　　） （4）在△ABC中，若已知三个角A，B，C，可以解其他元素. （　　） 解析（1）正确，正弦定理适用于任意三角形. （2）正确，由正弦定理知＝，即AC·sin A＝BC·sin B. （3）错误，在△ABC中，已知a，b，A，则此三角形有可能是无解、一解、两解的情况，具体情况由a，b，A的值决定. （4）错误，在△ABC中，必须有“边”的元素加入，否则无法确定三角形的大小. 答案（1）√　（2）√　（3）×　（4）× 关键能力·素养提升 探究一　已知两角及一边解三角形 　　解题技巧　　　　　　　　　　　 已知两角和任意一边解三角形的方法 事实上，所谓解三角形本质上就是解关于边角的方程.已知三角形的两角与一边解三角形时，①由三角形的内角和定理A＋B＋C＝180°可以计算出三角形的第三个角；②由正弦定理＝＝可以计算出三角形的另两边. 【例题1】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝，A＝45°，B＝60°，求a，c和C. 解析因为A＋B＋C＝180°，所以C＝180°－（60°＋45°）＝75°.由正弦定理得a＝＝×＝，c＝＝＝. 【变式1】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝5，B＝，tan A＝2，则sin A＝　　　　，a＝　　　　. 解析因为在△ABC中，tan A＝2，所以A是锐角，且＝2，sin2A＋cos2A＝1，联立解得sin A＝.再由正弦定理得＝，代入数据解得a＝2. 答案　2 探究二　已知两边及其中一边的对角解三角形 　　解题技巧　　　　　　　　　　　 已知三角形两边和其中一边 的对角解三角形的方法 （1）首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值. （2）当已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求出唯一的锐角. （3）当已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求出两个角，对求出的两个角要分类讨论. 【例题2】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝，b＝，B＝45°，求A，C和c. 解析由正弦定理得＝，即＝，所以sin A＝.因为a＞b，所以A＝60°或A＝120°.当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝＝；当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝＝. 【变式2】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，分别根据以下情况判断△ABC解的个数. （1）a＝5，b＝6，A＝30°； （2）a＝2，b＝，A＝45°； （3）a＝5，b＝3，B＝120°； （4）a＝3，b＝4，A＝60°. 解析（1）因