6.2.4 向量的数量积（word教参)-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

6.2.4　向量的数量积 （见学生用书P12） [学习目标]1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积（重难点）.2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系（重点）.4.发展数学抽象、数学运算和逻辑推理的核心素养. 必备知识·基础落实 要点一　向量的数量积 1.向量的夹角 条件 已知两个　非零　向量a，b，O是平面上的任意一点 产生 过程 作＝a，＝b，则　∠AOB＝θ　叫做向量a与b的夹角 范围 0≤θ ≤π 特殊 情况 θ＝0 a与b　同向　 θ＝ a与b　垂直　，记作a⊥b θ＝π a与b　反向　 2.向量的数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量｜a｜｜b｜cos θ 叫做向量a与b的　数量积　（或　内积　），记作a·b，即　a·b＝｜a｜｜b｜cos θ　.规定：零向量与任一向量的数量积为　0　. 3.向量的数量积的物理背景 如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的　功　W就等于力F与位移s的数量积，即　W＝F·s＝｜F｜｜s｜cos θ　，其中θ是F与s的夹角. 思考：（1）向量的数量积运算结果和向量的线性运算结果有什么区别？ （2）可以把“a·b”写成“ab”或“a×b”吗？ 提示（1）向量的数量积的运算结果是数量，只有大小，没有方向；向量的线性运算结果是向量，既有大小又有方向. （2）不可以，数量积是两个向量之间的乘法，在书写时，一定要严格，必须写成“a·b”的形式. 要点二　投影与投影向量 1.如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量. 2.如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量. 3.（1）设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，那么向量a在向量b上的投影向量与e，a，θ之间的关系为：对于任意的θ∈[0，π]，都有＝　｜a｜cos θ e　. （2）｜a｜cos θ（｜b｜cos θ）为向量a在b上（b在a上）的投影的数量. 要点三　向量数量积的性质和运算律 1.向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 （1）a·e＝e·a＝｜a｜cos θ. （2）a⊥b ⇔　a·b＝0　. （3）当a与b同向时，a·b＝　｜a｜｜b｜　；当a与b反向时，a·b＝　－｜a｜｜b｜　.特别地，a·a＝｜a｜2或｜a｜＝＝. （4）cos θ＝　　. （5）｜a·b｜≤｜a｜｜b｜. 2.向量数量积的运算律 对于向量a，b，c和实数λ，有 （1）a·b＝　b·a　（交换律）； （2）（λa）·b＝λ（a·b）＝　a·（λb）　（结合律）； （3）（a＋b）·c＝　a·c＋b·c　（分配律）. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）两个向量的数量积仍然是向量. （　　） （2）若a·b＝b·c，则一定有a＝c. （　　） （3）若a·b＜0，则a与b的夹角为钝角. （　　） （4）（a·b）·c＝a·（b·c）. （　　） 解析（1）错误，两个向量的数量积是实数. （2）错误，若a·b＝b·c＝0，则向量a，c不一定相等，它们可能只是都与b垂直的向量. （3）错误，若a·b＜0，则a与b的夹角可能为180°. （4）错误，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以（a·b）·c与向量c共线，a·（b·c）与向量a共线，因此（a·b）·c＝a·（b·c）在一般情况下不成立. 答案（1）×　（2）×　（3）×　（4）× 关键能力·素养提升 探究一　求向量的数量积 　　规律总结　　　　　　　　　　　 求平面向量数量积的方法 （1）定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝｜a｜｜b｜cos θ，运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件. （2）运算律转化法：根据数量积的运算律，由（a＋b）·（c＋d）＝a·c＋a·d＋b·c＋b·d可得如下运算公式：（a＋b）·（a－b）＝｜a｜2－｜b｜2；（a＋b）2＝｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2；（a－b）2＝｜a｜2－2a·b＋｜b｜2. （3）利用向量的线性运算转化法：涉及平面图形中向量的数量积的计算时，要结合向量的线性运算，将未知向量转化为已知向量求解. 【例题1】（1）如图，正△ABC的边长为，＝c，＝a，＝b，则a·b＋b·c＋c·a＝　　　　. （