第1部分 第7讲 一元二次方程及其应用-【中考高手】 2024年数学3年中考2年模拟1年预测

第二单元方程（组）与不等式（组） 14.(2023·山东烟台)中华优秀传统文化源远 分别购买多少本时费用最少？ 流长，是中华文明的智慧结晶.《孙子算经》 《周牌算经》是我国古代较为普及的算书，许 多问题浅显有趣.某书店的《孙子算经》单价 是《周髀算经》单价的子，用600元购买《孙子 算经》比购买《周髀算经》多买5本. (1)求两种图书的单价分别为多少元： (2)为等备“3.14数学节”活动，某校计划到 该书店购买这两种图书共80本，且购买 的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数 量的一半.由于购买量大，书店打折优 惠，两种图书均按八折出售，求两种图书 第7讲一元二次方程及其应用 网版本导航 教材 北师 华东师 鲁教版 人教版 版本 人教版 沪科版沪教版 冀教版 青岛版 苏科版湘教版京改版浙教版 大版 大版 (五四制) (五四制)》 章节 链接 九上 九上 八下 八上 九上 九上 八下 九上 八下 九上 九上 八下 八下 考点·知识清单 考点1 一元二次方程的概念及其解法 只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的整式方程叫做一元二次方程，它的 概念 般形式为ax2+h.x+c=0(a,b,e为常数，a≠0) 直接开平方法 般适用于左边是一个 ,而右边是一个 的一元二次方程 (1)一般适用于解二次项系数为·一次项系数为 的一元二次方程： 配方法 (2)配方的关键是把方程左边化为含有未知数的 右边是一个 解法 适用于所有一元二次方程，对于一元二次方程a.x十bx十c=0(a≠0)，求根公式是 公式法 (b-4ac≥0) 因式分解法 当变形后方程右边是 ,左边能 时，可考虑因式分解法 元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的判别式是△ ①当△>0时，方程有两个 的实数根： 根的判别式 ②当△=0时，方程有两个 的实数根： ③当△<0时，方程 实数根 根与系数的关系 如果方程ax十b.x十c=0(a≠0)的两根为x1,x,那么x,十x= x2日 1291 第一部分·考点全攻略 考点2一元二次方程的应用 审 明确各数量之间的关系 设 列一元二次 根据题意设未知数 方程解决实 列 根据等量关系列一元二次方程 际问题的一 解 解一元二次方程 般步骤 验 检验方程的解是否符合问题的实际意义 答 写出答案 平均增长 设a为起始量，b为终止量，n为增长（降低）的次数，x为平均增长（降低）率，则平均 (降低)率 增长（降低）率公式为 问题 利润=售价一进价： 列一元二次 销售问题 利润率=利润÷进价×100%： 方程常用的 等量关系 打折后的价格=原价×打折数×品 传染问题 传染源+第一轮被传染数十第二轮被传染数一两轮被传染的总数 面积（体 将不规则图形分割或组合成规则图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积 积)问题 (体积)公式列出一元二次方程 考法·考向导析 命题点1一元二次方程的解法 方的形式时考虑用配方法，如果没有特别的说 【典例1】解方程：x2一2x-3=0. 明一般不要考虑配方法. 解法1把方程左边因式分解，得 针对训练 (x-3)(x+1)=0, 1.(2023·新疆)用配方法解一元二次方程x2一 x-3=0或x十1=0， 6x十8=0配方后得到的方程是() .x1=3,x=-1. A.(x+6)2=28 B.(x-6)2=28 解法2该方程中a=1,b=一2，c=一3， C.(x+3)2=1 D.(x-3)2=1 △=b-4ac=(-2)2-4×1×(-3)=16, 2.方程(x十3)2=4的根是() x=2±)16=1士2.4=34=-1. A.m=-1,.x2=-5 B.x1=1,x2=-5 2 C.x1=x2=-1 D.x1=-1,x2=5 解法3配方，得z2-2x十1=3十1，(x-1)2=4, 命题点2根的判别式和根与系数的关系 .x一1=士2，即x=1士2， 【典例2】(2022·四川南充)已知关于x的 .x1=3,x2=-1. 一元二次方程x2十3.x十k一2=0有实数根. 图方法归纳解一元二次方程常见的解法 (1)求实数k的取值范围： 有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 (2)设方程的两个实数根分别为x,x,若 (含十字相乘法).一般的考虑顺序是如果形式 (x1十1)(x2十1)=一1，求k的值. 符合(x十m)”=n(n≥0)就用直接开平方法：如 解(1)一元二次方程x2十3x十k一2=0 果不符合就考虑因式分解法，看能否分解成一 有实数根，△≥0， 边是两个因式的乘积的形式，另一边是0的形 式：如果也不符合就考虑公式法，公式法的公式 即3-4(k-2≥0，解得k< 是r=b士4aC;当方程恰好特合完全平 (2)方程的两个实数根分别为12， 2a x1十x2=-3,x1x2=k-2. 1301