专题13 全等三角形的四大常考模型 -2023-2024学年七年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版）

专题13 全等三角形的四大常考模型 目录 【题型一 一线三等角模型】 1 【题型二 手拉手模型】 3 【题型三 倍长中线模型】 4 【题型四 半角模型】 5 【题型一 一线三等角模型】 题型特征：图形的某条线段上出现三个相等的角，如图中∠B＝∠2＝∠C 解题方法：只要题目再出现一组等边（BE＝AC或EF＝AE或BF＝EC），必证△BEF≌△CAE（AAS或ASA） 证明过程：∵∠1＝180°－∠2－∠3，∠4＝180°－∠C－∠3，∵∠2＝∠C，∴∠1＝∠4，∵∠B＝∠C，若BE＝AC或EF＝AE或BF＝EC，则△BEF≌△CAE（AAS或ASA） 例题：如图，中，，分别过点B、C作过点A的直线的垂线，垂足分别为D、E，若，则 ． 【变式训练 】 1．如图1，的边和的边在同一声线上，且，，，． (1)求证：； (2)求的长； (3)如图2，点N以2个单位长度/秒的速度从始点C出发沿着边运动，到终点．点以5个单位长度/秒的速度从始点出发沿折线运动，到终点．现M、N两点同时从各自始点出发，运动秒，当M、N其中一点到达终点时，两点同时停止运动．那么．在此运动中，是否存在M、N两点重合的时刻？若存在，求出时间，若不存在，说明理由． 2．（1）课本习题回放： “如图①，，，，，垂足分别为D，E，，．求的长”．请直接写出此题答案：的长为_______cm． （2）探索证明： 如图②，点B，C在的边、上，，点E，F在内部的射线上，且．求证：． （3）拓展应用： 如图③，在中，，．点D在边上，点E在线段上，．若，则_______．（图中画出分析思路；直接填写结果） 【题型二 手拉手模型】 模型一：手拉手模型 （一）有公共顶点的等边三角形 （二）有公共顶点的等腰直角三角形 （三）顶角相等的等腰三角形 例题： 如图所示，，，，，，则 ． 【变式训练 】 1．如图，，，，点在线段上．若，，则 ． 2．如图，在中，，D是直线上一点，以为一条边在的右侧作，使，，连接． (1)请判断与相等吗？并说明理由． (2)若，求的度数． 【题型三 倍长中线模型】 例题：如图，AD为的中线，，则AD的长可能是（    ） A．0.5 B．2 C．2.5 D．3 【题型四 半角模型】 模型二： 半角模型 （一）等边三角形中120含60半角模型 （二）等腰直角三角形中90含45半角模型 例题：如图，把两块大小相同的含的三角板和三角板如图所示摆放，点D在边上，点E在边上，且，则的度数为 ． 一、单选题 1．如图，在中，，，于点E，于点D，，，则的长为（   ） A．0.85 B．0.8 C．1.25 D．1.0 2．已知是的边上的中线，，，则边及中线的取值范围分别是(　　) A．， B．， C．， D．， 3．老师布置的作业中有这样一道题：如图，在中，D为的中点，若，，则的长不可能是（    ） 思考：中同学认为，，这三条边不在同一个三角形中，需要进行转化；乙同学认为可以从中点D出发，构造辅助线，利用全等的知识解决基于以上两位同学的思考过程，请选择正确的结果． A．5 B．4 C．3 D．2 4．如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．如图，，以点为直角顶点在第一象限作等腰直角，则点的坐标为    6．如图，在中，平分，于点P，已知的面积为2，则阴影部分的面积为 ． 7．如图，已知中，，D为上一点，且，则的度数是 ． 8．如图，一个等腰直角三角形零件放置在一凹槽内，顶点A．B．C分别落在凹槽内壁上，测得AD＝5cm，BE＝9cm，则该零件的面积为            　　　　 9．如图所示，在中，，则边上的中线的长取值范围是 ．    三、解答题 10．如图（1）在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E． (1)求证： ①； ②； (2)当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，有怎样的关系？并加以证明． 11．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图1．已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． (2)组员小明对图2进行了探究，若，，直线l经过点A．直线l，直线l，垂足分别为点D、E．他发现线段、、之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段、、之间的数量关系， (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题： 如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，，求的长． 12．如图，已知△ABC，在