第4章《因式分解》（导图+知识梳理+九考点讲练）-2023-2024学年北师大版数学八年级下册章节培优复习知识讲练

2023-2024学年北师大版数学八年级下册章节培优复习知识讲练 第4章 因式分解 （思维导图+知识梳理+九大重点考向举一反三讲练） 1. 理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算； 2．掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法； 3. 了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解. 知识点01：因式分解 【高频考点精讲】 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 知识点02：提公因式法 【高频考点精讲】 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律. 知识点03：公式法 【高频考点精讲】 1.平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 2.完全平方公式 两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 【易错点剖析】 （1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 知识点04：十字相乘法和分组分解法 【高频考点精讲】 十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在 ，则 分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 知识点05：因式分解的一般步骤 【高频考点精讲】 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． （4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 重点考向01：因式分解的意义 重点考向02：公因式 重点考向03：因式分解-提公因式法 重点考向04：因式分解-运用公式法 重点考向05：提公因式法与公式法的综合运用 重点考向06：因式分解-分组分解法 重点考向07：因式分解-十字相乘法等 重点考向08：实数范围内分解因式 重点考向09：因式分解的应用 重点考向01：因式分解的意义 【典例精讲】（2023秋•磐石市期末）若多项式x2+kx﹣6有一个因式是（x﹣2），则k＝　 　． 【变式训练1-1】（2023秋•深圳校级期末）下列从左到右的变形为因式分解的是（　　） A．xy2（x﹣1）＝x2y2﹣xy2 B．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9 C．2023a2﹣2023＝2023（a+1）（a﹣1） D．x2+x﹣5＝（x﹣2）（x+3）+1 【变式训练1-2】（2023春•宝安区期末）下列从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．（x﹣1）（x﹣2）＝（1﹣x）（2﹣x） B．x2+xy﹣1＝x（x﹣y）﹣1 C．a（x﹣3）+b（3﹣x）＝（x﹣3）（a﹣b） D．（a﹣1）（a+1）＝a2﹣1 【变式训练1-3】（2023秋•衡阳期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n ∴． 解得：n＝﹣7，m＝﹣21 ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21 问题：仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值． 重点考向02：公因式 【典例精讲】（2023春•礼泉县期中）多项式．4ab2+8a2b的公因式是 ． 【变式训练2-1】（2021春•沙坪坝区校级月考）多项式x3+6x2y+9xy2与x3y﹣9xy3的公因式是（　　） A．x（x+3y）2 B．x（x+3y） C．xy（x+3y） D．x（x﹣3y） 【变式训练2-2】（2021春•高明区校级期末）多项式2a2b3+6ab2+4ab2c各项的公因式是　 　． 【变式训练2