专题04 正切函数的图像与性质（考点解读+考点归纳+10类题型）-【练透核心考点】2023-2024学年高一数学重点题型方法与技巧（沪教版2020必修第二册）

【解析版】 专题04 正切函数的图像与性质 本章将从函数的角度看待正弦、余弦和正切，研究这些三角函数的图像与性质；与幂函数、指数函数及对数函数不同，三角函数还具有周期性；在现实生活中存在大量的周期现像，如四季的交替，钟表指针的转动，弹簧的振动，等等；三角函数是刻画周期现像最典型的数学模型．由正弦函数和余弦函数在周期现像研究中重要而本质的作用，使三角函数成为分析和解决周期问题的基本工具，在物理学、工程技术和其他许多领域都有广泛的应用； 一、《必修第二册》目录与内容提要 【本章教材目录】 第7章 三角函数 7.1 正弦函数的图像与性质 7.1.1正弦函数的图像；7.1.2正弦函数的性质； 7.2 余弦函数的图像与性质 7.2.1余弦函数的图像；7.2.2余弦函数的性质 7.3 函数y=Asin(ωx+φ)的图像 7.4 正切函数的图像与性质 7.4.1正切函数的图像；7.4.2正切函数的性质； 【本章内容提要】 三角函数 正弦函数y＝sinx 余弦函数y＝cosx 正切函数y＝tanx 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 最大值 x＝＋2kπ(k∈Z)时， ymax＝1； x＝2kπ(k∈Z)时， ymax＝1； 无最值 最小值 x＝－＋2kπ(k∈Z)时， ymin＝－1； x＝π＋2kπ(k∈Z)时， ymin＝－1 无最值 最小正周期 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调增区间 在 (k∈Z)上递增； 在 [(2k－1)π，2kπ] (k∈Z)上递增； 在 (k∈Z)上递增 单调减区间 在 (k∈Z)上递减 在 [2kπ，(2k＋1)π] (k∈Z)上递减 无 图像 【附】图像特征 函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 图像 对称性 对称中心 (kπ，0)，k∈Z ，k∈Z ，k∈Z 对称轴 直线x＝kπ＋，k∈Z 直线x＝kπ，k∈Z 无对称轴 1、正切曲线 正切函数：我们已经知道，对于任意一个角，只要，就有唯一确定的正切值与之对应，按照这个对应法则所建立的函数，叫做正切函数；表示为； 正切曲线：再根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右平移，得到正切函数，，且的图像，一般地，的函数图像称为正切曲线。 2、正切函数图像的画法 ①三点两线法： 作正切函数的图像时，先画一个周期的图像，再把这一图像向左、右平移．从而得到正切函数的图像，通过图像的特点，可用“三点两线法”，这三点是，(0，0)，，两线是直线x＝±为渐近线； ②几何法 利用正切线画出的图像； 3、正切函数的性质 （1）定义域：； （2）值域：R； （3）周期性：函数y＝tanx的周期都是kπ(k∈Z且k≠0)；最小正周期为π； 函数y＝Atan(ωx＋φ) (其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的周期为T＝； （4）奇偶性：奇函数； （5）单调性：在(k∈Z)上递增； （6）零点：（观察正切曲线可以看出）正切函数的零点为 4、正切函数y＝sinx的图像特征 图像 对称性 对称中心 ，k∈Z 对称轴 无 题型1、会用“五点法”作正切型函数的图像 例1、设函数f(x)＝tan. （1）求函数f(x)的周期、对称中心； （2）作出函数f(x)在一个周期内的简图． 【说明】“三点两线法”作正切曲线的简图： （1） “三点”分别为(kπ，0)，，，其中k∈Z； 两线为直线x＝kπ＋和直线x＝kπ－，其中k∈Z（两线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交） （2）作简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线，然后描出三个点，用光滑的曲线连接得到一条曲线，最后平行移动至各个周期内即可； 题型2、会用“图像变换”作正切相关函数的图像 例2、画出函数y＝|tan x|的图像，并根据图像判断其单调区间、奇偶性、周期性． 【说明】作出函数y＝|f(x)|的图像一般利用图像变换方法，具体步骤是： （1）保留函数y＝f(x)图像在x轴上方的部分； （2）将函数y＝f(x)图像在x轴下方的部分沿x轴向上翻折． 友情提示：若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图像，再利用周期性，延拓到定义域上即可； 题型3、与正切函数的定义域相关 例3、（1）y＝tan定义域为_______________________ （2）函数f(x)＝＋的定义域为________． 【说明】求正切函数定义域的方法及的注意点：求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义即x≠＋kπ，k∈Z； 　题型4、与正切函数相关的值域与最值 例4、（1）函数