7.1正弦函数的性质（值域与最值）（第3课时）（教学课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册） 第 7章 三角函数 7.1正弦函数的性质（值域与最值） （第3课时） 学习目标 掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．(重点、难点) 　由于正弦函数是周期函数，因此研究它的最值和单调性等性质时，都可以在长度为一个周期的区间上进行． （２）值域与最值 设角x的终边与以原点为圆心的单位圆交于点P（图７-１-６）， 点P的坐标为（u，v）．由正弦的定义，ｓｉｎx＝v，于是有｜ｓｉｎx ＝｜v｜≤１． 新课讲解 因此，正弦函数y＝ｓｉｎx，x∈R的值域为［－１，１］，其最大值为１，最小值为－１． 考虑到正弦函数y＝ｓｉｎx的最小正周期为２π，因此只需选择一个长度为２π的合适的区间来研究其最大值与最小值．取此区间为［０，２π）．在［０，２π）上，当且仅当最大值 １ ； 当且仅当y=sinx取得最小值－１，由于正弦函数y＝ｓｉｎx，x∈R的最小正周期是２π，因此当且仅当y＝ｓｉｎx取得最大值１；当且仅当k∈Z时，y＝ｓｉｎx取得最小值－１． 例５ 求下列函数的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时所有x的值 因为y＝ｓｉｎu，u∈R的最大值是１，最小值是－１， 所以y＝ －２ｓｉｎu，u∈R的最大值是２，最小值是－２ ，由x∈R，得u能取遍所有实数， 取得最大值2时，，即 而当，即 ，所以的最大值是 而y的最小值是－２，此时 令由，得，则 于是，y的最大值是２，此时 而y的最小值是 因为－２≤２ｓｉｎ 在现实生活中，我们常常会碰到合理下料、最优设计等方面的问题，通过建立三角函数模型求最值是其中一种解决问题的方法． ，即 例６ 如图７-１-７，在一个半径为r的半圆形铁板中，截取一块矩形ABCD，使得矩形的顶点A、B在半圆的直径上，C、D在半圆弧上．问：如何截取矩形ABCD，使其面积达到最大值？并求出这个最大值 由此可知 ， 当且仅当 因此 ， 在半圆形铁板中应截取 AB＝ 这时矩形ABCD 的面积达到最大值 练习７．１（３） １．求下列函数的定义域和值域： 课本练习 ２．求下列函数的最大值与最小值： 解：(2)最大值为2，最小值为-2 ３．如图，矩形ABCD 的四个顶点分别在矩形A１B１C１D１ 的四条边上，AB＝a，BC＝b．如果AB与A１B１ 的夹角为α，那么当α取何值时，矩形A１B１C１D１的周长最大？ 1、已知M和m分别是函数y＝ 【答案】D； 2.函数y=sinx-|sinx|的值域是( ____ ) A.{0} B.[-2，2] C.[0，2] D.[-2，0] D 【解析】解：∵y=sinx-|sinx|= 根据正弦函数的值域的求解可得-2≤y≤0， 函数y=sinx-|sinx|的值域是[-2，0]； 故选：D． 3.函数 的值域( ____ ) A. B. C. D.[-1，1] 【解析】解：y=sinx在[ ， ]上单调递增，[ ， ]上单调递减， B 则当x= 时，y=sin = ， 当x= 时，y=sin = ， 当x= 时，y=sin =1， 则 的最大值为1，最小值为 ， 值域为[ ，1]． 故选：B． 16 4.函数 在 上的值域为 ________ ． 【解析】解： ，则 ，于是 ， 所以所求值域为[0，1]． 故答案为：[0，1]． [0，1] 17 5.已知函数y=sinx在定义域为 ，值域为 ，则实数a的取值范围为 　　． 【解析】解：由题意，在y=sinx中，定义域为 ，值域为 ，周期为2π， ∴ ，解得： ． 故答案为： ． 18 6.函数f(x)=cos2x+sinx的值域是　　． 【解析】解：f(x)=cos2x+sinx=-2sin2x+sinx+1=-2(sinx- )2+ 又sinx∈[-1，1] ∴当sinx= 时，函数f(x)取到最大值为 当sinx=-1时，函数f(x)取到最小值为-2 综上函数f(x)=cos2x+sinx的值域是 故答案为： 19 7.函数 的值域是　　． 【解析】解：∵ = = = = 又∵ ∴ 故答案为： 20 8.已知函数f(x)=3sin2x+2 sinxcosx+5cos2x. (1)若f(α)=5，求tanα的值； (2)设△ABC三内角A，B，C所对边分别为a,b,c,且 ，求f(x)在(0，B]上的值域． 【解析】解：(1)由f(α)=5，得 ． ∴ ． ∴ ， 即