5.3.2函数的极值和最值第三课时导数在解决实际问题中的应用课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.2函数的极值和最值 第三课时 优化问题 问题：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 （1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵一些？你想从数学上知道它的道理吗？ （2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？ 导入 P96-例8 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0.8πr2分,其中r(单位:cm)是瓶子的半径.已知每出售1mL的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm. (1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大? (2)瓶子半径多大时,每瓶饮料的利润最小? 换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数f (r)的图象上观察，你有什么发现？ 巩固 利用导数解决实际应用问题的步骤： (1)数学建模:细致分析实际问题中各个量之间的关系,正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x,把实际问题转化为数学问题,即列出函数关系式y=f (x). (2)确定定义域:一定要从问题的实际意义去考虑,舍去没有实际意义的自变量的取值范围. (3)求最值:尽量使用导数法求出函数的最值. (4)下结论:根据问题的实际意义给出正确的答案. 总结 [练习1](P97-2)如图，用铁丝围成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为a m2．为使所用材料最省，圆的直径应为多少？ 巩固 [练习1](P97-2)如图，用铁丝围成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为a m2．为使所用材料最省，圆的直径应为多少？ 巩固 巩固 巩固 未完待续…… [练习2]某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式,其中为常数,已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克. (1)求a的值; (2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 解　(1)因为x=5时,y=11,所以,解得a=2 解：(2)由(1)知,该商品每日的销售量10(x-6)2, ∴商场每日销售该商品所获得的利润 f (x)=(x-3)=2+10(x-3)(x-6)2(3<x<6), f '(x)=10[(x-6)2+ 2(x-3)(x-6)]= 30(x-4)(x-6) x (3,4) 4 (4,6) f '(x) + 0 - f (x) 单调递增 42 单调递减 ∴当x=4时,函数f (x)取得最大值,且最大值等于42 故当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大 [练习2]某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式,其中为常数,已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克. (1)求a的值; (2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大. $$