第五讲暑假新九年级思维拓展（确定圆的条件&圆周角）2023-2024学年苏科版九年级数学上册

编号： 暑假圆（2） 学生姓名： 年 级：新九年级 辅导科目：思维拓展 授课日期及时段 年 月 日 : —— : 课题 确定圆的条件&圆周角 教学内容 确定圆的条件 【知识梳理】 知识点1：确定圆的条件 不在同一条直线上的三点确定一个圆. 小提醒： （1） “不在同一条直线上”这个条件不可忽略. （2） “确定”一词理解为“有且只有”，即不仅能作圆，而且只能作一个圆. 核心要点： 过已知点作圆的问题 （1）经过一个点A作圆，只要以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A之间的距离为半径即可作圆.如图2 - 3 - 1，这样的圆有无数多个. （2）经过两个点A，B作圆，要以到点A，B的距离相等的点为圆心，即以线段AB的垂直平分线上任意一点为圆心，以这一点到点A或点B的距离为半径即可作圆.如图2 - 3 - 2，这样的圆也有无数多个. （3）经过不在同一条直线上的三点A，B，C作圆，圆心到这三点的距离相等，因此圆心在线段AB，BC的垂直平分线的交点O处，即以点O为圆心，OA（或OB，OC）为半径可作出经过A，B，C三点的圆，这样的圆只有一个，如图2 - 3 - 3. （4）经过在同一条直线上的三点不能作圆. （5）过任意四点不一定能作出圆. 要想过四点作圆，应先作出经过不在同一条直线上的三点的圆，如果第四个点到圆心的距离等于半径，那么第四个点在圆上，否则第四个点不在圆上，如图2 - 3 - 4. 例1. 已知直线l：y = x + 2和点A（0，2），B（ - 2，0），设P为直线l上任意一点，试判断过P，A，B三点能否作一个圆，并说明理由. 知识点2：三角形的外接圆 1.概念：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆.外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图2 - 3 - 5，⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形. 2.三角形外接圆的作法： （1）分别作边AB，AC的垂直平分线DE，FG，DE与FG相交于点O； （2）以点O为圆心，OA的长为半径作圆，则⊙O就是所求作的圆（如图2 - 3 - 5）. 3.三角形外心的性质： （1）三角形的外心是外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等. （2）三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的；但一个圆的内接三角形有无数个，这些三角形的外心重合. 微拓展： 三角形外心的位置 锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部，即随着三角形的形状变化三角形外心的位置也发生变化，如图2 - 3 - 6. 例2.如图2 - 3 - 7，在△ABC中，点O在边AB上，且点O为△ABC的外心，求∠ACB的度数. 【例题精讲】 知识点1：残圆的修复问题 例1．如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知：AB＝24cm，CD＝8cm． （1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）． （2）求残片所在圆的面积． 【变式1-1】如图，已知直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）， 写出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标：（　 　，　 　） 题型2：与三角形外接圆有关的计算 例2．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°． （1）作△ABC的外接圆⊙O； （说明：要求保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若，求它的外接圆的面积． 题型3：三角形外接圆的实际应用 例2. 如图，平原上有三个村庄A，B，C，现计划打一水井P，使水井到三个村庄的距离相等． （1）在图中画出水井P的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） （2）若再建一工厂D，使得D到水井P的距离也等于水井到三个村庄的距离，且工厂D到AC两个村庄的距离也相等，则工厂D应建在何处？请画出其位置． 【变式3-1】小芳的衣服被一根铁钉划了一个呈直角三角形的洞，只知道该三角形有两边长分别为1cm和2cm，若用同色圆形布将此洞全部覆盖，那么这个圆布的直径最小应等于　 　． 题型4：三角形的外接圆与一元二次方程的综合 例3. 已知三角形的两边长为3和4，第三边长是方程x（x﹣7）﹣5（x﹣7）＝0的一个根，求这个三角形的外接圆半径． 【易错题1】下列说法正确的有（　　） ①不在同一条直线上的三点确定一个圆； ②平分弦的直径垂直于弦； ③在