第二讲 根与系数的关系 暑假思维拓展讲义 2023-2024学年苏科版九年级数学上册

编号： 暑假方程（2） 学生姓名： 年 级：九年级 辅导科目：思维拓展 授课日期及时段 年 月 日 : —— : 课题 根与系数的关系（韦达定理） 教学内容 根与系数的关系 知识点： 如果的两根是，，则，．（隐含的条件：） 特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设，是方程的两个根，则，． 例1. 不解方程，求两根之和与两根之积. 【例题精讲】 题型1：已知一根，求字母的值和另一根 例1． 已知方程x2+kx﹣6＝0的一个根是2，求它的另一个根及k的值． 【变式1-1】已知一元二次方程x2+mx+3＝0的一个根为﹣1．求： （1）m的值； （2）方程的另一个根． 题型2：已知一元二次方程两根的关系，求字母的值或取值范围 例2．已知关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）当k取最大整数值时，用合适的方法求该方程的解； （3）若m，n是方程x2+2x+k＝0的两个根，且＝6，求k的值． 题型3：根与系数关系的应用 例3．已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣5x+2＝0的两个实数根，不解方程，求下列各式的值． （1）+； （2）x12x2+x1x22； （3）+． 【变式3-1】已知α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为（　　） A．﹣1 B．9 C．23 D．27 【变式3-2】求下列代数式的值： （1）当，时，求代数式a2+ab+b2的值． （2）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别是a和b，求代数式的值． 【易错题】已知x₁，x₂是关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2+1＝0的两个实数根， ①求m取值范围； ②若x12+x22＝15，求实数m的值； 【巩固练习】 1．已知关于x的方程x2﹣2x﹣a＝0的两个实数根为x1，x2，且， （1）求a的值； （2）求x12+x22的值． 2． 已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的一根为2，求方程的另一根及k的值． 3．已知2+是关于x的方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则方程的另一个根与c的值是（　　） A．2﹣，1 B．﹣6﹣，15﹣8 C．﹣2，﹣1 D．2+，7+4 4．已知α、β是关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x+1＝0的两个实数根，求（1+mα+α2）（1+mβ+β2）的值． 5．已知m，n是方程x2+2x﹣7＝0的两个实数根，则m2+3n2+4n＝　 　． 6．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0． （1）若方程有实数根，求m的取值范围； （2）若方程的两个实数根分别为α，β且α+β+αβ＝0．求m的值． 7．已知关于x的方程k2x2﹣2（k+1）x+1＝0有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）当k＝1时，设所给方程的两个根分别为x1和x2，求+的值． 8．关于x的方程kx2+（k+2）x+＝0有两个不相等的实数根； （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 9．已知关于x的方程k2x2﹣2（k﹣1）x+1＝0有两个实数根x1、x2． （1）求k的取值范围； （2）若x1、x2满足等式|x1+x2|＝5x1x2﹣1，求k的值． 20 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$