3.6 圆内接四边形课件2023-2024学年浙教版数学九年级上册

第3章 圆的基本性质 3.6 圆内接四边形 学习目标 一 掌握圆内接四边形的概念和性质. 学会圆内接四边形的概念和性质的应用,并能灵活结合圆内接四边形的性质和圆的其它性质来解决相关问题. 合作探究 二 动手操作 任意画一个圆,在圆上依次取四个点A,B,C,D,连结AB,BC,CD,DA.用量角器量出四边形ABCD任意一组对角的度数,并计算它们的和,你发现了什么?你的同伴是否有同样的发现? 按照要求所画四边形的对角互补. 发现: 你能说一说这种四边形的特点吗? 新知 如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上,那么这个四边形叫做圆的内接四边形,这个圆叫做四边形的外接圆. 例如,在图中,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,⊙O是四边形ABCD的外接圆. 圆内接四边形的对角_. 互补 圆内接四边形的性质定理 你能证明吗? 已知:如图,四边形ABCD内接于圆O. 求证:∠A+∠C=180 ,∠B+∠D=180 . 做一做 1.已知圆内接四边形有一个内角是50 , 求它的对角的度数. 2.若圆O的内接四边形ABCD满足∠A=∠C , ∠B=∠D, 则四边形ABCD是怎样的特殊平行四边形? 解:它的对角的度数=180 -50 =130 . 解:∵∠A=∠C , ∠B=∠D , ∠A+∠C=180 , ∠B+∠D=180 , ∴∠A=∠C=∠B=∠D=90 . ∴四边形ABCD是矩形. 例题讲解 三 例1 已知:如图,AD是 ABC的外角∠EAC的平分线,与 ABC的外接圆交于点D. 求证:DB=DC. 分析:要证明DB=DC ,只需证明∠DBC=∠DCB. 根据“圆内接四边形的对角互补”、“在同圆中,同弧所对的圆周角相等”、“同角的补角相等”即可得到∠DBC=∠DCB. O 证明:∵AD是∠EAC的平分线, ∵四边形ABCD内接于圆O, ∴∠BAD+∠DCB=180 (圆内接四边形的对角互补). ∴∠DCB=∠DAE(同角的补角相等). 而∠DAC=∠DBC(在同圆中,同弧所对的 圆周角相等). ∴∠DCB=∠DBC, ∴DB=DC. ∴∠DAC=∠DAE. O 例2 如果要把横截面直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材,并使截面尽可能地大,应怎样锯?如果这根原木长15m,问:锯出的木材的体积为多少立方米(树皮等损耗略去不计)? 解:设原木的横截面为⊙O (如图).要使正方形ABCD尽可能地大,正方形ABCD应内接于⊙O. 当原木的直径为30cm时,AO=BO=15cm, 正方形ABCD的面积为 所以只要在⊙O内作两条互相垂直的直径AC和BD,就可以作出⊙O的内接正方形ABCD. 由正方形ABCD的内角是直角,得它的两条对角线是⊙O的直径,且这两条直径互相垂直. 随堂练习 四 1.如图,四边形ABCD是圆内接四边形,E是BC延长线上一点,若∠BAD=105 ,则∠DCE的大小是 ( ) A.115 B.105 C.100 D.95 B 2.如图,AB是半圆O的直径,∠BAC=40 .求∠D的大小. 解:∵ AB是半圆O的直径, ∴∠BCA= 90 . ∵∠BAC= 40 , ∴∠CBA= 90 -∠BAC =90 - 40 =50 . ∴∠D=180 -∠CBA=180 - 50 =130 . 3.已知圆内接四边形ABCD中,∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶7. 求∠D的大小. 解:设∠A,∠B,∠C分别为2x,3x,7x, 因为四边形ABCD是圆内接四边形, 所以2x+7x=180 , 解得 x=20 , ∴∠B=3x=60 , ∴∠D=180 -∠B=120 . 课堂小结 五 两个概念 如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上,那么这个四边形叫做圆的内接四边形,这个圆叫做四边形的外接圆. 一个定理 圆内接四边形的性质定理:圆内接四边形的对角互补. 本节课学习了哪些知识? 感谢观看! $$