专题03 函数y=Asin(ωx+φ)的图像（考点解读+考点归纳+10类题型）-【练透核心考点】2023-2024学年高一数学重点题型方法与技巧（沪教版2020必修第二册）

【原卷版】 专题03 函数y=Asin(ωx+φ)的图像 本章将从函数的角度看待正弦、余弦和正切，研究这些三角函数的图像与性质；与幂函数、指数函数及对数函数不同，三角函数还具有周期性；在现实生活中存在大量的周期现像，如四季的交替，钟表指针的转动，弹簧的振动，等等；三角函数是刻画周期现像最典型的数学模型．由正弦函数和余弦函数在周期现像研究中重要而本质的作用，使三角函数成为分析和解决周期问题的基本工具，在物理学、工程技术和其他许多领域都有广泛的应用； 一、《必修第二册》目录与内容提要 【本章教材目录】 第7章 三角函数 7.1 正弦函数的图像与性质 7.1.1正弦函数的图像；7.1.2正弦函数的性质； 7.2 余弦函数的图像与性质 7.2.1余弦函数的图像；7.2.2余弦函数的性质 7.3 函数y=Asin(ωx+φ)的图像 7.4 正切函数的图像与性质 7.4.1正切函数的图像；7.4.2正切函数的性质； 【本章内容提要】 三角函数 正弦函数y＝sinx 余弦函数y＝cosx 正切函数y＝tanx 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 最大值 x＝＋2kπ(k∈Z)时， ymax＝1； x＝2kπ(k∈Z)时， ymax＝1； 无最值 最小值 x＝－＋2kπ(k∈Z)时， ymin＝－1； x＝π＋2kπ(k∈Z)时， ymin＝－1 无最值 最小正周期 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调增区间 在 (k∈Z)上递增； 在 [(2k－1)π，2kπ] (k∈Z)上递增； 在 (k∈Z)上递增 单调减区间 在 (k∈Z)上递减 在 [2kπ，(2k＋1)π] (k∈Z)上递减 无 图像 【附】图像特征 函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 图像 对称性 对称中心 (kπ，0)，k∈Z ，k∈Z ，k∈Z 对称轴 直线x＝kπ＋，k∈Z 直线x＝kπ，k∈Z 无对称轴 1、函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念及其物理意义 （1）形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ都是常数)的函数，通常叫做正弦型函数． （2）在物理学和工程技术的许多问题中， 物体做简谐运动时，位移s和时间t的关系为s＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0)， 其中A是物体振动时离开平衡位置的最大距离，称为振动的振幅； 往复振动一次所需的时间T＝称为这个振动的周期； 单位时间内往复振动的次数f＝＝称为振动的频率；ω＝2πf 相应地称为：圆频率； ωt＋φ称为相位，t＝0时的相位φ称为初始相位； 2、用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图 用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点 ωx＋φ 0 π 2π x y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3、A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的影响 （1）φ对函数y＝sin(x＋φ)图像的影响： 函数y＝sin(x＋φ)，x∈R(其中φ≠0)的图像，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到； （2）ω对函数y＝sin(ωx＋φ)图像的影响： 函数y＝sin(ωx＋φ)，x∈R(其中ω>0，且ω≠1)的图像，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图像上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的． （3）A对函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的影响： 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0且A≠1)的图像，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)的图像上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1)当原来的A倍(横坐标不变)而得到的，函数y＝Asin(ωx＋φ)的值域为[－A，A]．最大值为A，最小值为－A； 4、用“变换法”由y＝sin x变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)图像的方法： （1）先平移后伸缩 即：先相位变换后周期变换． y＝sin x的图像y＝sin(x＋φ)的图像 y＝sin(ωx＋φ)的图像 y＝Asin(ωx＋φ)的图像． （2）先伸缩后平移 即：先周期变换后相位变换． y＝sin x的图像 y＝sin ωx的图像 y＝sin(ωx＋φ)的图像 y＝Asin(ωx＋φ)的图像； 5、函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质如下： 定义域 R 值域 [－A，A] 周期性 T＝ 奇偶性