专题01 正弦函数的图像与性质（考点解读+考点归纳+10类题型）-【练透核心考点】2023-2024学年高一数学重点题型方法与技巧（沪教版2020必修第二册）

【解析版】 专题01 正弦函数的图像与性质 本章将从函数的角度看待正弦、余弦和正切，研究这些三角函数的图像与性质；与幂函数、指数函数及对数函数不同，三角函数还具有周期性；在现实生活中存在大量的周期现像，如四季的交替，钟表指针的转动，弹簧的振动，等等；三角函数是刻画周期现像最典型的数学模型．由正弦函数和余弦函数在周期现像研究中重要而本质的作用，使三角函数成为分析和解决周期问题的基本工具，在物理学、工程技术和其他许多领域都有广泛的应用； 《必修第二册》目录与内容提要 【本章教材目录】 第7章 三角函数 7.1 正弦函数的图像与性质 7.1.1正弦函数的图像；7.1.2正弦函数的性质； 7.2 余弦函数的图像与性质 7.2.1余弦函数的图像；7.2.2余弦函数的性质 7.3 函数y=Asin(ωx+φ)的图像 7.4 正切函数的图像与性质 7.4.1正切函数的图像；7.4.2正切函数的性质； 【本章内容提要】 三角函数 正弦函数y＝sinx 余弦函数y＝cosx 正切函数y＝tanx 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 最大值 x＝＋2kπ(k∈Z)时， ymax＝1； x＝2kπ(k∈Z)时， ymax＝1； 无最值 最小值 x＝－＋2kπ(k∈Z)时， ymin＝－1； x＝π＋2kπ(k∈Z)时， ymin＝－1 无最值 最小正周期 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调增区间 在 (k∈Z)上递增； 在 [(2k－1)π，2kπ] (k∈Z)上递增； 在 (k∈Z)上递增 单调减区间 在 (k∈Z)上递减 在 [2kπ，(2k＋1)π] (k∈Z)上递减 无 图像 【附】图像特征 函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 图像 对称性 对称中心 (kπ，0)，k∈Z ，k∈Z ，k∈Z 对称轴 直线x＝kπ＋，k∈Z 直线x＝kπ，k∈Z 无对称轴 1、正弦曲线 正弦函数y＝sinx，x∈R的图像叫正弦曲线； 2、正弦函数图像的画法 （1）几何法： ①利用正弦线画出y＝sinx，x∈[0,2π]的图像； ②将图像向左、向右平行移动（每次2π个单位长度）； （2）五点法： ①画出正弦曲线在[0,2π]上的图像的 五个关键点(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)， 用光滑的曲线连接； ②将所得图像向左、向右平行移动（每次2π个单位长度）； 3、正弦函数的性质 （1）周期性 ①函数的周期定义：设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． ②最小正周期 (a)定义：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期；(b)正弦函数与余弦函数的最小正周期：2π； ③函数y＝sinx的周期都是2kπ(k∈Z且k≠0)；最小正周期为2π； ④函数y＝Asin(ωx＋φ) (其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的周期为T＝； （2）值域与最值 定义域：R； 值域：[－1,1]； 最值：x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1； （3）奇偶性 奇函数 （4）单调性 在(k∈Z)上递增；在(k∈Z)上递减； 4、正弦函数y＝sinx的图像特征 图像 对称性 对称中心 (kπ，0)，k∈Z 对称轴 直线x＝kπ＋，k∈Z 题型1、会用“五点法”作正弦相关函数的图像 例1、（1）用五点法画y＝3sin x，x∈[0,2π]的图像时，下列哪个点不是关键点（ ） A．　 B． C．(π，0) D．(2π，0) 【说明】注意利用“五点法”结合“代换法”，画正弦型函数的图像； （2）用“五点法”画出函数y＝＋sin x，x∈[0,2π]的图像． 【说明】用“五点法”画函数y＝Asin x＋b(A≠0)在[0,2π]上简图的步骤 （1）列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 y b A＋b b －A＋b b （2）描点：在平面直角坐标系中描出五个点(0，y1)，，(π，y3)，，(2π，y5)，这里的yi(i＝1,2,3,4,5)值是通过函数解析式计算得到的． （4）连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，就得到正(余)弦函数y＝Asin x＋b的图像像． 友情提示：作图像时，函数自变量要用弧度制，x轴、y轴上尽量统一单位长度； 题型2、会用“图像变换”作正弦相