专题01 平行垂直证明（两大类型）-2024年新高考数学解答题核心考点分解训练与突破（新高考二轮复习）

01平行垂直证明 一、必备知识： 1. 空间中的平行关系 （1） 线线平行 （2） 线面平行的判定定理： 平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行 （3） 线面平行的性质定理： 若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行 （4） 面面平行的判定定理： 判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行 判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行 （5） 面面平行的性质定理： 性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面 性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行 2. 空间中的垂直关系 （1） 线线垂直 （2） 线面垂直的判定定理： 一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直 （3） 线面垂直的性质定理： 性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线 性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行 （4） 面面垂直的判定定理： 一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直（或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直） （5） 面面垂直的性质定理： 两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面 3. 空间的线线平行或垂直： （1）设，，则； （2）. 二、题组 题组一：平行证明 经典例题： 例1．如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．证明：    例2．如图，是三棱锥的高，，，E是的中点． 证明：平面.       例3．如图,在圆锥中,若轴截面是正三角形,C为底面圆周上一点，F为线段上一点，D（不与S重合）为母线上一点,过D作垂直底面于E，连接,且. 求证：平面平面. 例4．如图，在三棱柱中，分別是梭的中点．在棱上找一点，使得平面平面，并证明你的结论. 变式训练： 1．如图所示，圆台的上､下底面圆半径分别为和为圆台的两条不同的母线.分别为圆台的上､下底面圆的圆心，且为等边三角形. 求证：. 2．如图，已知在三棱柱中，，，F是线段BC的中点，点O在线段AF上，.D是侧棱中点，.证明：平面. 3．如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为等腰梯形，且，为等边三角形，平面平面直线．证明：平面； 4．如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，，点是线段的中点.证明：平面.    5．如图，多面体中，四边形与四边形均为直角梯形.已知点四点共面，且.证明：平面平面. 6．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，点E在上，且．在棱上是否存在一点F，使得平面?若存在，求点F的位置，若不存在，请说明理由. 7．如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，设平面平面.(1)作出（不要求写作法）；(2)线段上是否存在一点，使平面？请说明理由. 达标检测： 1．如图，已知四棱锥的底面是菱形，，对角线交于点平面，平面是过直线的一个平面，与棱交于点，且． 求证：；    2．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，为等边三角形，点M，N分别为AB，PC的中点．证明：直线平面PAD. 3．如图，三棱柱中，四边形均为正方形，分别是棱的中点，为上一点. 证明：平面； 4．如图，四棱锥中，是的中点，四边形为平行四边形，且平面．试探究在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，并给予证明；若不存在，请说明理由； 题组二：垂直证明 经典例题： 例1．如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．证明：. 例2．如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l． 证明：l⊥平面PDC. 例3．在四棱锥中,底面是正方形,若． 证明：平面平面. 例4．如图，在三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，.(1)求证：； (2)若平面平面，在线段（包含端点）上是否存在一点E，使得平面平面，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由. 变式训练： 1．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. 证明：； 2．如图，四棱锥中，平面平面为等边三角形，，是棱的中点. 证明：；    3．如图，在直三棱柱中，，M，N分别是，的中点，.证明：平面. 4．如图所示，在直三棱柱中，，，，为棱的中点，为棱上靠近的三等分点，为线段上的动点. 求证： 平面.    5．在三棱柱中，平面平面ABC，，，D为AC的中点．求证：平面平面. 6．已知三棱柱中，，，且，，侧面底面，是的中点. 求证：平面平面. 7．如图，在四棱锥中，是正方形，平面，，分别是的中点．（1）求证：平面平面；（2）在线段上确定一点，使平面，并给出证明． A B D E F P G C 8．如图1，在等边中，是边上的高，、分别是和边的中点，现将沿翻折成使得平面平面，如图2. (1)求证：平面；(2)在线段上是否存在一点，使？若存在，求