专题04极化恒等式解决向量数量积和平面向量几何中应用（3知识点+4题型）-2023-2024学年高一数学阶段复习考点归纳总结突破练（人教A版2019必修第二册）

专题4 极化恒等式解决向量数量积和平面向量几何中应用（3知识点+4题型）极化恒等式解决向量数量积和平面向量几何中应用 常考题型 平面几何中问题的具体转化方法 用向量方法解决平面几何问题 极化恒等式及其推论 题型一：用向量方法解决几何中问题 题型二：通过向量运算法解决向量数量积问题 题型三：通过坐标法解决向量数量积问题 题型四：应用极化恒等式解决平面向量数量积问题 知识点一：极化恒等式及其推论 （1）极化恒等式： ①公式推导： ②几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． （2）平行四边形模式：如图，平行四边形ABCD，O是对角线交点．则·＝[|AC|2－|BD|2]． （3）三角形模式：如图，在△ABC中，设D为BC的中点，则·＝|AD|2－|BD|2． ①推导过程：由. ②记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差． （4）极化恒等式的适用范围： ①共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化； ②不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题. 知识点二：用向量方法解决平面几何问题 （1）用向量方法解决平面几何问题的步骤 ①建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及到的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； ②通过向量运算，研究元素之间的关系，如距离、夹角等问题； ③把运算结果“翻译”成几何关系. （2）利用向量证明平面几何的两种经典方法及步骤： 〈1〉线性运算法 ①选取合适的基底（一般选择夹角和模长已知的两个向量）； ②利用基底表示相关向量； ③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系； ④把计算结果“翻译”为几何问题. 〈2〉坐标运算法 ①建立适当的直角坐标系（尽可能让更多的点在坐标系上）； ②把相关向量坐标化； ③用向量的坐标运算找到相应关系； ④利用向量关系回答几何问题. 知识点三：平面几何中问题的具体转化方法 ①证明线段，可转化为证明； ②求线段的长度，通过建系或者线性运算用已知向量求模长； ③证明线段，只需证明存在一个实数，使成立； ④证明两线段，只需证明数量积； ⑤证明三点共线，只需证明存在一个，使成立. ⑥求向量数量积：通过建系或者线性运算用已知向量来表示所求向量再求数量积； 题型一：用向量方法解决几何中问题 解题思路:（1）用向量方法解决平面几何问题的步骤 ①建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及到的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； ②通过向量运算，研究元素之间的关系，如距离、夹角等问题； ③把运算结果“翻译”成几何关系. 例1．已知向量，线段的中点为，且，则（    ） A． B． C． D． 例2．在中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 例3．如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P， (1)求； (2)求的正弦值. 变式训练 4．若非零向量与满足，则为（    ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 5．正方形的面积为16，，点在线段上．若，则 ． 6．如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于M，则 .    7．已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点.    (1)请用、表示向量； (2)设和的夹角为，若，且，求证：. 题型二：通过向量运算法解决向量数量积问题 解题思路：线性运算法求数量积步骤 ①选取合适的基底（一般选择夹角和模长已知的两个向量）； ②利用基底表示相关向量； ③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系； ④把计算结果“翻译”为几何问题. 例1．在平行四边形中，，点在上，且满足，点是的中点，则（   ） A． B． C．1 D． 例2．在等边中，点是边的中点，且，则为（    ） A． B．16 C． D．8 例3．如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（    ）    A．10 B．13 C．18 D．26 变式训练 4．如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 5．宽与长的比为的矩形叫做黄金矩形，它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，令人赏心悦目．在黄金矩形中，中点为，则的值为（   ） A． B． C．4 D．2 题型三：通过坐标法解决向量数量积问题 解题思路：坐标运算法求数量积 ①建立适当的直角坐标系（尽可能让更多的点在坐标系上）； ②把相关向量坐标化； ③用向量的坐标运算找到相应关系； ④利用向量关系回答几何问题. 例1．在平行四边形中，，，，点，分别是，的中点，则