大题05 函数与导数（10大题型+必刷大题） -【大题精做】冲刺2024年高考数学大题突破+限时集训（新高考通用）

大题05 函数与导数 函数与导数问题是高考数学的必考内容。从近几年的高考情况来看，在大题中考查内容主要有主要利用导数研究函数的单调性、极值与最值、不等式及函数零点等内容。此类问题体现了分类讨论、转化与化归的数学思想，难度较大。 题型一：利用导数研究函数的单调性 （2024·河南郑州·高三校联考阶段练习）已知函数在处的切线方程为. （1）求，的值； （2）证明：在上单调递增. 1、求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 2、求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求（通分合并、因式分解）； （3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间； （4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 3、含参函数单调性讨论依据： （1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）； （2）导函数的零点在不在定义域或区间内； （3）导函数多个零点时大小的讨论。 1．（2024·安徽六安·高三统考期末）已知函数. （1）若函数的图象在处的切线与x轴平行，求函数的图象在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性. 2．（2024·辽宁·校联考一模）已知. （1）求在处的切线方程； （2）求的单调递减区间. 题型二：利用导数研究函数的极值 （2024·湖南长沙·高三长沙一中校考开学考试）已知直线与函数的图象相切. （1）求的值； （2）求函数的极大值. 1、利用导数求函数极值的方法步骤 （1）求导数； （2）求方程的所有实数根； （3）观察在每个根x0附近，从左到右导函数的符号如何变化． ①如果的符号由正变负，则是极大值；②如果由负变正，则是极小值；③如果在的根x＝x0的左右侧的符号不变，则不是极值点． 根据函数的极值(点)求参数的两个要领： ①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； ②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证. 1．（2024·广东汕头·统考一模）已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围. 2．（2022·河南·高三专题练习）已知函数，其中常数. （1）若在上是增函数，求实数的取值范围； （2）若，设，求证：函数在上有两个极值点. 题型三：利用导数研究函数的最值 （2024·江苏泰州·高三统考阶段练习）已知函数，． （1）若函数在点处的切线过原点，求实数a的值； （2）若，求函数在区间上的最大值． 函数在区间上连续，在内可导，则求函数最值的步骤为： （1）求函数在区间上的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值； （3）实际问题中，“驻点”如果只有一个，这便是“最值”点。 1．（2024·安徽黄山·统考一模）已知函数在处取值得极大值． （1）求的值； （2）求在区间上的最大值． 2．（2024·陕西西安·统考一模）已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若的最小值为1，求a． 题型四：利用导数解决恒成立与能成立 （2024·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）设函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，若恒成立，求实数的取值范围. 对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 1．（2023·宁夏银川·高三校联考阶段练习）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若存在，使得，求实数的最大值. 2．（2022·全国·模拟预测）已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若函数，且在上恒成立，求实数的取值范围. 题型五：利用导数求解函数的零点 （2024·江苏南通·高三统考开学考试）已知函数，曲线在处的切线方程为． （1）求，的值； （2）求的单调区间，并证明在上没有零点． 导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分