大题04 圆锥曲线（10大题型+必刷大题） -【大题精做】冲刺2024年高考数学大题突破+限时集训（新高考通用）

大题04 圆锥曲线 圆锥曲线问题是高考的热点问题之一，多数情况在倒数第二题出现，难度为中高档题型。纵观近几年高考试卷，圆锥曲线的大题主要有以下几种类型：已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求直线方程或斜率、多边形面积或面积最值、证明直线过定点或点在定直线上等。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可循。 题型一：最值问题 （2024·安徽合肥·统考一模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，过作的切线，交于点，且与轴分别交于点. （1）求证：； （2）设点是上异于的一点，到直线的距离分别为，求的最小值. 求最值及问题常用的两种方法： （1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决； （2）代数法：题中所给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值，求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等。 1．（2024·吉林·校联考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于P，Q两点，的周长为8，焦距为． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与圆相切，且与交于不同的两点R，S，求的取值范围． 2．（2023·山西临汾·校考模拟预测）已知抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：交C于M，Q两点，且． （1）求C的方程； （2）若点P是C的准线上的一点，过点P作C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，求点O到直线AB的距离的最大值． 题型二：参数范围问题 （2023·上海浦东新·高三建平中学校考阶段练习）已知分别是椭圆的左、右顶点，过点、斜率为的直线交椭圆于两个不同的点． （1）求椭圆的焦距和离心率； （2）若点落在以线段为直径的圆的外部，求的取值范围； （3）若，设直线分别交轴于点，求的取值范围． 圆锥曲线的取范围问题 1、利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； 2、利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； 3、利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； 4、利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； 5、利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 1．（2023·四川成都·统考二模）已知，分别为椭圆的左、右焦点，与椭圆C有相同焦点的双曲线在第一象限与椭圆C相交于点P，且． （1）求椭圆C的方程； （2）设直线与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，且．若椭圆C上存在点E，使得四边形OAED为平行四边形，求m的取值范围． 2．（2024·江西南昌·高三江西师大附中校考开学考试）已知抛物线：上一点的纵坐标为3，点到焦点距离为5. （1）求抛物线的方程： （2）过点作直线交于A，B两点，过点A，B分别作C的切线与，与相交于点，过点A作直线垂直于，过点作直线垂直于，与相交于点E，、、、分别与轴交于点P、Q、R、S.记、、、的面积分别为、、、.若，求实数的取值范围. 题型三：定值问题 （2024·四川雅安·高三雅安中学校联考开学考试）已知椭圆的离心率为，且椭圆的短轴长为． （1）求椭圆的方程． （2）设是椭圆上第一象限内的一点，是椭圆的左顶点，是椭圆的上顶点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点．记的面积为，的面积为．证明：为定值． 圆锥曲线的定值问题 （1）解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段长度，图形面积，角度，直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值， 求定值问题常见的解题方法有两种： 法一、先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关； 法二、引起变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值。 （2）直接法解题步骤 第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程：或、点的坐标； 第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来； 第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数。 1．（2024·安徽·高三校联考阶段练习）已知双曲线（，）的左顶点为，过点的动直线l交C于P，Q两点（均不与A重合），当l与x轴垂直时，. （1）求C的方程； （2）若直线AP和AQ分别与直线交于点M和N，证明：为定值. 2．（2023·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考期中）已知抛物线：的焦点为，抛物线上存在一点到焦点的距离等于． （1）求抛物线的方程； （2）过点的直线交抛物线于两不同点，交轴于点，已知