6.4.1平面几何中的向量方法（奔驰定理，三角形四心）学案-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4.1平面几何中的向量方法-奔驰定理，三角形四心 任务一：平面几何中的向量方法 【思考1-1】平面几何中的位置关系如何用向量表示 几何 向量 坐标 平行 垂直 长度 角 【例1】是的中位线，用向量方法证明： 【例2】如图，已知平行四边形，你能发现对角线 的长度与两条邻边的长度之间的关系吗？ 【例3】正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，AF与交于点,求的余弦值． 任务二：奔驰定理 奔驰定理：已知P为三角形ABC内一点，则有. 推论：已知P为三角形ABC内一点，若有 【例4】三角形ABC内一点D，且，则？ 任务三 ：三角形的四心的向量表示 【重心】中线的交点 性质：将中线长度分成2：1； 向量表示： 1. 2. 3.若, , , , , 则三角形ABC的重心G 4.G点轨迹过 【例5】如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点（点N与点C不重合），设，则的值为？ 【内心】内切圆圆心，角平分线交点 性质：到三边距离相等， 向量表示: 1. 2.的轨迹过 3.角平分线定理：AB:BD=AC:CD 【例6】，AB=AC=5，BC=，，则=______. 【外心】外接圆圆心，垂直平分线交点 性质：OA=OB=OC 向量表示: 1. 2. 【例7】，AB=6，AC=4，∠BAC为锐角，M是边BC的中点，则=_______ 【垂心】高线交点 向量表示: 1. 2. 3. 【例8】在中，AB＝5，AC＝6，D是BC的中点，H是的垂心，则 ？ 【选做】是所在平面上的一点，动点满足则点 形成的图形一定通过 的垂心。 学科网（北京）股份有限公司 $$