微专题11 与正方形有关的四个常考模型-【探究在线】2023-2024学年八年级下册数学高效课堂导学案（华东师大版）

微专题11与正方形有关的四个常考模型 模型1儿正方形中相交垂线段问题 【变式】如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在 +模型归纳+++++++++++++ BC、CD上，且AE⊥BF,垂足为点M.若AE= 正方形内，分别连结两组对边上任 BF,求证：矩形ABCD为正方形 意两点，得到的两条线段（如：图①中的 线段AF与BE,图②中的线段AF与 EG,图③中的线段HF与EG)满足：若 垂直，则相等 图D 图② 图 1.(教材P121习题T2变式)数学活动：探究正 方形中的十字架. (1)猜想：如图①，在正方形ABCD中，点E、 F分别在CD、AD边上，且BF⊥AE,猜想 模型2儿正方形中过对角线交点的直角问题 线段AE与BF之间的数量关系： 一模型归纳++++++++ (2)探究：如图②，在正方形ABCD中，点E、 正方形ABCD中，O为两条对角线的 交点，点E、F分别在AB、BC上.若∠EOF F,G、H分别在AB、BC,CD、AD边上，且EG 为直角，OE、OF分别与DA、AB的延长线 ⊥HF,此时线段HF与EG相等吗？如果相 交于点G、H,则△AOE≌△BOF,△AOG 等，请给出证明：如果不相等，请说明理由 ≌△BOH,△OGH是等腰直角三角形，且 S正彩D· 图 图② 2.如图，在正方形ABCD中，点O 是对角线AC、BD的交点，过 点O作射线OM、ON分别交 BC、CD于点E、F,且∠EOE =90°，OC、EF交于点G.给出下列结论： ①△COE≌△DOF:②△OBE≌△OCF:③四 边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的 是：④DF+BE=EF,其中正确的为 .(将正确的序号都填人) 77 探究在线八年级数学（下）·HD 3.如图，正方形ABCD中，O是对角线AC、BD 模型4【正方形中的半角模型 的交点，过点O作OE⊥OF,分别交AB、BC 一模型归纳++++++++++++一 于点E、F 如图，正方形ABCD中，若∠EAF (1)求证：△OEF是等腰直角三角形： 45,则： ①EF=BE十DF;②△CEF的周长为 (2)若AE=4,CF=3,求EF的长， 正方形ABCD边长的2倍；③FA平分 ∠DFE,EA平分∠BEF 5.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点， F是AD延长线上一点，且DF=BE (1)求证：∠BCE=∠DCF; (2)点G在AD上，连结GE、GC,若GE GD+BE,求此时∠GCE的大小. 模型3【正方形中三垂直全等模型 4.如图，四边形ABCD是正方形，点E是边 BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形 外角∠DCG的平分线CF于点F 求证：AE=EF 第19章矩形、菱形与正方形 78△AD是等边过角e, 19二.2交形的判定 博凌每A平行边表 理鲁：“点上场的州M的中点，山一 .D=AB=AD=6,教对身程D的长为 第门课时亚野岭刺院宽理1 :AD,AN⊥AD, E⊥AC,E-A-A 2)血菱无的性精可超，对角汽C与配军相看直口平分 基硅在线 ∠CEF=D4E..AE1 名平行国边影AF为童形 AFAE.BEAFAE 0D-BD-与×-3，∠Cw0-r, 1,类形2：0 (2)1DX∠ADC=2: 又廿BEL从∠PA=∠'一r, 又D=4, ,E,F,.H分到为AD.AB.2CD的中点 ∠HF=∠A7= 二术8A求， 厅4一了✉1后 ,BE-AF,二连形AFE是平扫图诗形， AF--C-bif. :因连形Ai为差题，FB=: m-m心-是×a,5×1-量 片2A=∠B=Cm∠D 点∠C排=∠棋求=， :∠FE=9,AF=AE, .∠DF=∠CF+∠F=+2T= 品闪边围AFE是王本形 常2乖时利用麦形的性或进行计耳和证明 品△AFE2△HP△CH,≌△DHE 箱展在候 .==打=H化. 0G1a∠DGF, 基秘在战 1①0d ,图迪限EFH为菱限 ∠F0=-∠DFur-m4r 1.A2. 19.a正方形 微专盟！与正方形有关的四个常彩板四 随力在姨 能力在线 ,#5 蕾建在挂 LAEF,理自如下，记AE癸F于点G L3 LC SA U 辉边形AD是工方思， 石照在性 L,(1)t明，：CE BD.DEAC AD=:∠F=∠ADE- ,)恒明，由题意知，P0为规段AC的强直平计线 反(1》证，四动用DEBF是正方影，国边里AD是平 图边彩？整华行四边形 ∴AE=CE,AD=D, 行闪边形。 .∠日F+∠0=9， 又？同边形AD是菱形。 CFRA,∠EAC=∠FA,∠A=∠FD, DE-BE-BP-FD.AJ-cO. BFLAF,∠AF+∠DAE=0, LD,∠0= △AEDA△FDiA.AS, 甘-=（一FAE=CF ,∠AED=∠FB, .同边形口Y)里形， (2由则意可知