6.4.1平面几何中的向量方法课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4 平面向量的应用 6.4.1 平面几何中的向量方法 第六章 平面向量及其应用 一 二 三 学习目标 通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的”三步曲” 明确平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示 理解向量在处理平面几何问题中的优越性 学习目标 复习回顾 1. 你还记得平面向量学习了哪些知识吗？ 1、平面向量的定义； 2、平面向量的加、减、数乘三种线性运算； 3、平面向量的数量积运算； 4、平面向量基本定理； 5、平面向量的坐标表示及坐标运算； 2. 我们用平面向量知识解决了哪些平面几何问题？ 1、两直线平行 2、三点共线 3、夹角问题 4、两点间距离 5、垂直问题 本节我们将学习运用向量方法解决平面几何、物理中的问题，感受向量在解决数学和实际问题中的作用.同时我们还将借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，把解直角三角形问题拓展到解任意三角形问题. 新知探究 下面通过两个具体实例，说明向量方法在平面几何中的应用. 例1 如图示，DE是∆ABC的中位线，用向量方法证明： 转化 运算 翻译 三步曲 平行问题 归纳小结 (1) 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2) 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3) 把运算结果“翻译”成几何关系. 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”: 可简单的表述为： [形到向量] —— [向量的运算] —— [向量和数到形] 典例解析 例1 如图示，DE是∆ABC的中位线，用向量方法证明： 反思 初中是如何证明这个问题的？ F 证明：延长DE至点F，使DE=EF，连结CF． ∵E为AC中点，∴AE=EC． 又∵DE=EF，∠AED=∠CEF， ∴△AED≌△CEF（SAS）． ∴AD=CF，∠ADE=∠F． ∴AB∥CF，即BD∥CF． 又∵AD=BD，∴BD=CF． ∴四边形DBCF为平行四边形． ∴BC=DF=2DE，且DE∥BC． 与向量法相比，你有什么感受？ 典例解析 第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题: 例2 如图示，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？ 解： 第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系: 第三步，把运算结果“翻译”成几何关系: 追问：你能用自然语言叙述这个关系式的意义吗？ 平行四边形两对角线长的平方和等于各边长的平方和 长度问题 例3 如图，在正方形ABCD 中，P 为对角线AC上任意一点， PEAB,PFBC,垂足分别为E,F连接DP,EF. 求证：DP EF. 典例解析 垂直问题 证法一: 设正方形 的边长为1， ， 则 ， ， ， ， 所以 ，即 . 典例解析 垂直问题 例3 如图，在正方形ABCD 中，P 为对角线AC上任意一点， PEAB,PFBC,垂足分别为E,F连接DP,EF. 求证：DP EF. 证法二：设正方形 的边长为1， 建立如图所示的平面直角坐标系，则 ， 设 ， ，则 ， ， 所以 ， . 因为 ， 所以 ，即 . x y 小结：向量坐标法 ①建立坐标系； ②写出用到的点的坐标及向量坐标； ③进行坐标运算； ④还原为几何问题。 几何问题代数化 数形结合思想 巩固练习 课本P39 如图示，已知△ABC 中，AB=AC，求证：∠B=∠C. 1. 证明: 等腰三角形的两个底角相等. 角度问题 巩固练习 课本P39 2. 如图示，正方形ABCD的边长为a，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M，求∠EMF的余弦值. x y 3. 如图示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N. 设AB=mAM，AC=nAN，求m+n的值. 巩固练习 课本P39 4. 用向量法证明以 ， ， ， 为顶点的 四边形是一个矩形. 证明： 因为 ， ， ， 所以 ， 不为零向量，且不与 平行， 所以以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形. 又 ， 所以 ， 故以 ， ， ， 为顶点的四边形是矩形. 巩固练习 课本P39 课堂小结 1. 证明线段相等,转化为证明向量的长度相等;求线段的长,转化为求向量的模. 2. 证明线段、直线平行,转化为证明向量平行. 3. 证明线段、直线垂直,转化为证明向量垂直. 4. 几何中与角相关的问题,转化为向量的夹角问题. 5. 对