精品解析：河北省2023-2024学年高三下学期省级联测考试（3月）数学试题

2023—2024高三省级联测考试 数学试卷 班级__________姓名__________. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级和考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 将向量绕坐标原点逆时针旋转得到，则（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线的焦点为，准线为是抛物线上位于第一象限内的一点，过点作的垂线，垂足为，若直线的倾斜角为，则（ ） A. 2 B. C. D. 3 6. 甲､乙､丙､丁4位同学报名参加学校举办的数学建模､物理探究､英语演讲､劳动实践四项活动，每人只能报其中一项，则在甲同学报的活动其他同学不报的情况下，4位同学所报活动各不相同的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线交双曲线的右支于两点，若，且，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 3 8. 设，则下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正数满足，则下列选项正确的是（ ） A. B. C D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若数据的极差和平均数相等，则 B. 数据的第80百分位数为10.5 C. 若，则 D. 若，随机变量，则 11. 如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 存在点，使得直线与直线为异面直线 B. 存在点，使得 C. 若为线段的中点，则三棱锥与三棱锥体积相等 D. 过三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，若，则__________. 13. 已知圆，过点直线交圆于两点，且，则满足上述条件的一条直线的方程为__________. 14. 已知函数，若在区间上有且仅有两个不相等的实数，满足，则的取值范围为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 记△的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，求的范围. 16. 2020年11月，国务院办公厅印发《新能源汽车产业发展规划（2021—2035年）》，要求深入实施发展新能源汽车国家战略，推动中国新能源汽车产业高质量可持续发展，加快建设汽车强国.新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源（或使用常规的车用燃料､采用新型车载动力装置），综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进､具有新技术､新结构的汽车.为了了解消费者对不同种类汽车的购买情况，某车企调查了近期购车的100位车主的性别与购车种类的情况，得到如下数据： 单位：人 性别 购车种类 合计 新能源汽车 传统燃油汽车 男 20 女 50 合计 30 100 （1）补全上面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断购车种类与性别是否有关； （2）已知该车企的A型号新能源汽车有红､白､黑､蓝四种颜色.现有三个家庭各计划购买一辆A型号新能源汽车，记购买的汽车颜色相同的家庭个数为，求的分布列与数学期望. 附： 0.10 0.05 0010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 17. 如图，已知平行六面体的棱长均为. （1）证明：； （2）延长到，使，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知函数在区间内有唯一极值点，其中为自然对数的底数. （1）求实数的取值范围； （2）证明：在区间内有唯一零点. 19. 信息熵是信息论之父香农（Shannon）定义的一个重要概念，香农在1948年发表的论文《通信的数学理论》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”，并给出了计算信息熵的数学表达式：设随机变量所有可能的取值为，