5.2.3 简单复合函数的导数课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

复习巩固 ①导数的加、减法运算法则： ②导数的乘法运算法则： ③导数的除法运算法则： ④常数与函数的积的导数： 导数的四则运算法则 I II 求函数的导数的方法 ①先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数； ②对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算． 第五章 一元函数的导数及其应用 5.2.3 简单复合函数的导数     延时符 授课人： 日期：2024年3月9日 2 学习目标  进一步运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.  了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则  数学抽象、数学运算 3 新知导入 4 若设 ，则， 把与的关系记作 ，与的关系记作，那么这个“复合”过程可表示为 【1】 函数有什么结构特点？ 【思考】 如何求函数的导数？ 通过中间变量表示成的函数. 从而函数 可以看成是由 和 复合而成的一个复合函数. . 4 新课知识 5 一般地，对于两个函数和，如果通过变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作. 指出以下函数是由哪些函数复合而成的？ （1） 复合函数 和 （2） 和 （3） 和 5 新课知识 6 , . 又 , 探究:如何求复合函数的导数？ 以函数 为例，研究其导数. . 追问：函数是由和 复合而成的， , , ， 那么与及有什么关系呢？ 6 新课知识 7 一般地，对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数，的导数间的关系为 复合函数的求导法则 即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积. 7 例题精讲 8 【例1】 求以下函数的导数 （1）；（2） ；（3） 【解】(1)可以看作函数及的复合函数 根据复合函数求导法则，有 （2） （3）设和 以表示对 求导， 以表示对求导 8 新课知识 9 注 意 点 (1)分解的函数通常为基本初等函数； (2)求导时分清是对哪个变量求导； (3)计算结果尽量简洁． 分别 求导 分别求各层函数对相应变量的导数 相 乘 把上述求导的结果相乘 变量回代 把中间变量回代 分 层 选择中间变量，写出构成它的内、外层函数 复合函数求导步骤 9 例题精讲 10 【例2】某个弹簧震子在震动过程中的位移(单位:) ,关于时间(单位:)的函数满足关系式 .求函数在时的导数，并解释它的实际意义. 【解】函数 是与 的复合函数, . 当时，. 它表示当时，弹簧震子的瞬时速度为. 函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体在某时刻的变化状况． 10 课堂练习 11 1.求下列函数在给定点的导数： （1）在处的导数； （2）在处的导数． 11 课堂练习 12 2.求曲线 在点 处的切线方程. 【解】∵ = ， ∴ · (3 – 1) = ； ∴ = 1， ∴ 切线方程为 – 1 = – ，即 = + . 12 课堂小结 13 一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数. 记作：. 一般地，对于由和复合而成的函数 ，它的导数与函数的导数间的关系为 复合函数 1 2. 复合函数的导数法则 2 复合函数求导的步骤：分解→求导→相乘→回代 3 13 本课作业 必做 二 必做 一 必做 三 教材 26 页 习题 1~10 三维 248页 课后 11，12 三维 248页 课后 11，12 01 02 03 14 微信： 手机： 感谢您的观看 授课人：梅河口市朝鲜族中学 15 $$