大题03 立体几何（7大题型+必刷大题） -【大题精做】冲刺2024年高考数学大题突破+限时集训（新高考通用）

大题03 立体几何 立体几何是高考数学的必考内容，在大题中一般分两问，第一问考查空间直线与平面的位置关系证明；第二问考查空间角、空间距离等的求解。考题难度中等，常结合空间向量知识进行考查。2024年高考有很大可能延续往年的出题方式。 题型一：空间异面直线夹角的求解 （2023·上海长宁·统考一模）如图，在三棱锥中，平面平面为的中点. （1）求证：； （2）若，求异面直线与所成的角的大小. 1、求异面直线所成角一般步骤： （1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线． （2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角． （3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之． （4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角． 2、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法： （1）直接平移法(可利用图中已有的平行线)； （2）中位线平移法； （3）补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)． 3、异面直线所成角：若分别为直线的方向向量，为直线的夹角，则. 1．（2023·江西萍乡·高三统考期中）如图，在正四棱台中，分别是的中点. （1）证明：平面； （2）若，且正四棱台的侧面积为9，其内切球半径为，为的中心，求异面直线与所成角的余弦值. 2．（2023·辽宁丹东·统考二模）如图，平行六面体的所有棱长都相等，平面平面ABCD，AD⊥DC，二面角的大小为120°，E为棱的中点． （1）证明：CD⊥AE； （2）点F在棱CC1上，平面BDF，求直线AE与DF所成角的余弦值． 题型二：空间直线与平面夹角的求解 （2024·安徽合肥·统考一模）如图，三棱柱中，四边形均为正方形，分别是棱的中点，为上一点. （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 1、垂线法求线面角（也称直接法）： （1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O； （2）连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角； （3）把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。 3、公式法求线面角（也称等体积法）： 用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。 公式为：，其中是斜线与平面所成的角，是垂线段的长，是斜线段的长。 方法：已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为， 平面和平面所成的二面角的大小为，则.这个方法对于无棱二面角的求解很简便。 4、直线与平面所成角：设是直线的方向向量，是平面的法向量，直线与平面的夹角为.则. 1．（2024·内蒙古赤峰·高三校考开学考试）如图，在三棱台中，，，． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 2．（2024·浙江温州·高三统考期末）如图，以AD所在直线为轴将直角梯形ABCD旋转得到三棱台，其中，． （1）求证：； （2）若，求直线AD与平面CDF所成角的正弦值． 题型三：空间平面与平面夹角的求解 （2024·江苏扬州·高三统考开学考试）如图，在多面体中，四边形是边长为的正方形，，，，平面平面． （1）求证：； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 1、几何法 （1）定义法（棱上一点双垂线法）：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线． （2）三垂线法（面上一点双垂线法）：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角 （3）垂面法（空间一点垂面法）：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。 （4）射影面积法求二面角 2、向量法：若分别为平面的法向量，为平面的夹角，则. 1．（2024·河南郑州·高三校联考阶段练习）如图，在长方中，，E为的中点，. （1）求的长； （2）求二面角的余弦值. 2．（2024·山东济南·高三济南一中校联考开学考试）如图，在四棱柱中，底面和侧面均是边长为2的正方形. （1）证明：. （2）若，求二面角的余弦值. 题型四：空间点、线、面间的距离求解 （2024·四川·校联考一模）如图，在四棱锥中，，，平面平面． （1）证明：平面； （2）已知，且，求点D到平面的距离． 1、几何法求点面距 1、定义法（直接法）：找到或者作出过这一点且与平面垂直的直线，求出垂线段的长度； 2、等体积法：通过点面所在的三棱锥，利用体积相等求出对应的点线距离； 3、转化法：转化成求另一点到该平面的距离，常见转化为求与面平行的直线上的点到面