精品解析：北京市海淀区北京大学附属中学预科部2023-2024学年高三下学期3月阶段练习数学试题

北大附中预科部2023—2024学年度阶段练习 数 学 本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则在复平面内，复数对应的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点为角的终边与单位圆的交点，（ ） A. B. C. D. 4. 已知，下列不等式中正确是（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面，直线和，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 已知函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C D. 7. 已知点是圆与曲线的一个公共点，点.若是等腰三角形，则满足条件的的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 设均为非零向量，则“”是“对于任意的实数，都有”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知函数.若，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它研究的几何对象具有自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变，具有很多美妙的性质.其中科赫（Koch）曲线是几何中最简单的分形.科赫曲线的产生方式如下：如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科赫曲线“”，将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，同理可得3级科赫曲线，……在分形几何中，若一个图形由个与它的上一级图形相似，且相似比为的部分组成，则称为该图形分形维数.那么科赫曲线的分形维数是（ ） A. B. C. 1 D. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 在的展开式中，常数项为______.（用数字作答） 12. 已知双曲线：和双曲线：有共同的渐近线，则______. 13. 已知等比数列，记其前项乘积.若，则_________；的前4项和为_________. 14. 已知函数，其中，若函数恒成立，则常数的一个取值为___________. 15. 在平面直角坐标系中，点到两个定点，的距离之积等于，称点的轨迹为双纽线.双纽线是瑞士数学家伯努利于1694年发现的.所以点的轨迹也叫做伯努利双纽线.给出下列结论： ①； ②点的轨迹的方程为； ③双纽线关于坐标轴及直线对称； ④满足的点有三个. 其中所有正确结论的序号是___________. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在中，. （1）求的值； （2）若，求的面积. 17. 北京市某区针对高三年级的一次测试做调研分析，随机抽取同时选考物理､化学的学生330名，下表是物理､化学成绩等级和人数的数据分布情况： 物理成绩等级 化学成绩等级 人数（名） 110 53 2 55 70 15 3 12 10 （1）从该区高三年级同时选考物理､化学的学生中随机抽取1人，已知该生的物理成绩等级为，估计该生的化学成绩等级为的概率； （2）从该区高三年级同时选考物理､化学的学生中随机抽取2人，以表示这2人中物理､化学成绩等级均为的人数，求的分布列和数学期望（以上表中物理､化学成绩等级均为的频率作为每名学生物理､化学成绩等级均为的概率）； （3）记抽取的330名学生在这次考试中数学成绩（满分150分）的方差为，排名前的成绩方差为，排名后的成绩方差为，则不可能同时大于和，这种判断是否正确.（直接写出结论）. 18. 如图在几何体中，底面为菱形，. （1）判断是否平行于平面，并证明； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求： （i）平面与平面所成角的大小； （ii）求点到平面的距离. 条件①：面面 条件②： 条件③： 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分. 19. 已知椭圆C：过点，长轴长为. （1）求椭圆方程及离心率； （2）直线l：与椭圆C交于两点M、N，直线AM、AN分别与直线交于点P、Q，O为坐标原点且，求证：直线l过定点，并求出定点坐标. 20. 已知函数. （1）若，求在处切线方程； （2）求的极大值与极小值； （3）证明：存在实数，当时，函数有三个零点. 21 已知数列满足：，且 （1）直接写出值； （