专题02 一元二次方程根与系数的关系重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优）-2023-2024学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

专题02 一元二次方程根与系数的关系重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优） 【题型目录】 题型一 利用根与系数的关系直接求代数式的值 题型二 利用根与系数的关系间接求代数式的值 题型三 利用根与系数的关系降次求代数式的值 题型四 构造一元二次方程求代数式的值 题型五 由两根关系求方程字母系数 题型六 根与系数关系的新定义问题 题型七 一元二次方程根与系数的关系综合 【知识梳理】 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 【经典例题一 利用根与系数的关系直接求代数式的值】 【例1】（2024上·山东临沂·九年级统考期末）如果是一元二次方程的两个实数根，那么的值是（    ） A．7 B．5 C．3 D．1 【变式训练】 1．（2023上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）已知方程的两个根分别为,，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023上·云南昆明·九年级云大附中校考期中）一元二次方程的两根分别为和，则为 ． 3．（2023上·浙江台州·九年级统考期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何实数，此方程总有两个实数根； (2)设方程两根为和，求的值． 【经典例题二 利用根与系数的关系间接求代数式的值】 【例2】（2024上·山东德州·九年级统考期末）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【变式训练】 1．（2023上·河南安阳·九年级校考阶段练习）若一元二次方程的两个实数根为，则的值为（    ） A． B．3 C．9 D． 2．（2024下·全国·八年级假期作业）若方程的两个根分别为，，且，则 ． 3．（2024上·广东茂名·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)如果方程的两个实数根为，，且，求m的值． 【经典例题三 利用根与系数的关系降次求代数式的值】 【例3】（2023·上海普陀·统考二模）已知一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）已知一元二次方程的两根分别为，则的值为（　　） A．0 B．7 C．13 D．6 2．（2023上·山东聊城·九年级校考阶段练习）若，是方程的两根，则 ． 3．（2023上·湖南·九年级校联考阶段练习）【引入命题】设是关于字母的一个整式，若是方程的一个根，则整式必有一个因式，即.其中仍然是关于字母的一个整式. （1）若，则的一个根是___________； 【回归课本】设一元二次方程有两个根，，则方程可化为：，即，与原方程比较系数，可得到一元二次方程根与系数的关系：，. （2）利用上式结论解题：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，求实数的值； 【探究引申】设一元三次方程有三个根，，，则原方程可化为：，试着展开上式，然后比较系数，可以得到根与系数