大题02 数列（6大题型+必刷大题） -【大题精做】冲刺2024年高考数学大题突破+限时集训（新高考通用）

大题02 数列 数列是高考数学的热门考点之一，其中等差(比)数列的通项公式，前n项和公式，以递堆数列为命题背景考查等差(比)数列的证明方法，以及等差（比）数列有关的错位相减法和裂项相消法求和是考查的重点内容。有时也会结合不等式进行综合考查，此时难度较大。 题型一：等差数列与等比数列证明 （2024·云南楚雄·高三统考期末）已知数列满足，. （1）求，； （2）求，并判断是否为等比数列. 判断数列是否为等差货等比数列的策略 1、将所给的关系进行变形、转化，以便利用等差数列和等比数列的概念进行判断； 2、若要判断一个不是等差（等比）数列，则只需说明某连续三项（如前三项）不是等差（等比）数列即可。 1．（2022·全国·高三专题练习）记数列的前项积为，且，其中． （1）若，求的值； （2）求证：数列是等比数列． 2．（2022·河南·高三校联考专题练习）已知数列的前项和为，且， （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式． 题型二：分组转化法求数列的前n项和 （2024·贵州贵阳·贵阳一中校考一模）已知数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）在数列中，，求数列的前项和． 1、适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论． 2、常见类型： （1）分组转化法：若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列： （2）奇偶并项求和：通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列。 1．（2024·黑龙江·高三大庆实验中学校联考阶段练习）已知数列的前项和为，满足，． （1）若数列满足，求的通项公式； （2）求数列的通项公式，并求． 2．（2024·湖南·长沙一中校联考模拟预测）已知等差数列的前项和为，且.等比数列是正项递增数列，且. （1）求数列的通项和数列的通项； （2）若，求数列的前项和. 题型三：裂项相消法求数列的前n项和 （2024·内蒙古赤峰·高三校考开学考试）已知数列的前项和为，且． （1）求 的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 1、用裂项法求和的裂项原则及规律 （1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． （2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 【注意】利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相消消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项． 2、裂项相消法中常见的裂项技巧 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 1．（2024·四川·高三校联考期末）在等差数列中，． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 2．（2024·安徽池州·高三统考期末）已知正项数列的前n项和为． （1）求数列的前n项和; （2）令，求的前9项之和． 题型四：错位相减法求数列的前n项和 （2024·四川雅安·高三雅安中学校联考开学考试）已知数列满足． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 1、解题步骤 2、注意解题“3关键” ①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形． ②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式． ③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解． 3、等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法． ① ② 得：． 整理得：. 1．（2024·浙江金华·高三统考期末）已知数列是等差数列，，，且，，构成等比数列， （1）求； （2）设，若存在数列满足，，，且数列为等比数列，求的前项和． 2．（2024·河北邯郸·高三磁县第一中学校考阶段练习）已知数列的前项和为，且满足． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前项和． 题型五：数列与不等式综合问题 （2024·广东广州·统考二模）已知数列中，. （1）求数列的通项公式； （2）令，记为的前项和，证明：时，. 数列与不等式是高考的热点问题，其综合的角度主要包括两个方面： 一是不等式恒成立或能成立条件下，求参数的取值范围：此类问题常用分离参数法，转化为研究最值问题来求解； 二是不等式的证明：常用方法有比较法、构造辅助函数法、放缩法、数学归纳法等。 1．（2022·全国·高三专题练习）已知单调递增的等比数列满足，且是和的等差中项． （1）求数列的通项公式； （2）若,设数列的前n项和为，且对任意，都有恒成立，求实数m的取值范围． 2．（2024·云南保山·高三统考期末）已