专题16 全等模型之角平分线模型-2023-2024学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版）

专题16 全等模型之角平分线模型 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1，为的角平分线、于点A时，过点C作. 结论：、≌. 图1 图2 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 图3 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠COB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 例1．（2023·广西玉林·八年级统考期中）如图，是的平分线，于，且三角形的面积，则线段的长是 .    例2．（2023·广东中山·八年级校联考期中）如图，中，、的角平分线、交于点P，延长、，，，则①平分；②；③；④．上述结论中正确的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③④ D．①②③④ 例3．（2023春·安徽宿州·八年级统考阶段练习）已知，和分别平分和，点E，F分别在和上．(1)如图1，过点P，且与垂直，求证：； (2)如图2，为过点P的任意一条线段，试猜想还成立吗？请说明理由．       例4．（2022·河北·九年级专题练习）已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G． （1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系； （2）如图2，若∠AOB=120°，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由． 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形、是三线合一等。 图1 图2 图3 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 例1．（2022秋·湖北黄冈·八年级校考期中）如图， 中， 是 的角平分线， ；若的最大值为，则长为 ． 例2．（2022·绵阳市·九年级期中）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）如图1，点F为BC上一点，连接AF交BD于点E．若AB=BF，求证：BD垂直平分AF． （2）如图2，CE⊥BD，垂足E在BD的延长线上．试判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由． （3）如图3，点F为BC上一点，∠EFC=∠ABC，CE⊥EF，垂足为E，EF与AC交于点M．直接写出线段CE与线段FM的数量关系． 例3．（2022秋·河南信阳·八年级统考期末）情景观察：如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分别为D、E，CD与AE交于点F． ①写出图1中所有的全等三角形　 　；②线段AF与线段CE的数量关系是　 　，并写出证明过程． 问题探究：如图2，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，AD平分∠BAC，AD⊥CD，垂足为D，AD与BC交于点E． 求证：AE=2CD． 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 【模型解读与图示】 条件：如图，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 条件：如图，分别为和的角平分线，，在上截取，连结. 结论：≌，≌，AB+CD=BC。 例1．（2023·广西八年级课时练习）在中，BE，CD为的角平分线，BE，CD交于点F． （1）求证：；（2）已知．①如图1，若，，求CE的长； ②如图2，若，求的大小． 例2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE＝AD，求证：∠ECA＝40°． 例3．（2022·北京九年级专题练习）在四边形中，是边的中点． （1）如图（1），若平分，，则线段、、的长度满足的数量关系为______；（直接写出答案）；（2）如图（2），平分，平分，若，则线段、、、的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明． 例4．（2023·浙江·九年级期中）（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠C＝90°，AD为∠BAC的平分线交BC于D，求证：AB＝AC＋CD