第04讲 向量应用（2个知识点+7种题型+强化训练）-2023-2024学年高一下学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（苏教版2019必修二）

第04讲 向量应用（2个知识点+7种题型+强化训练） 知识导图 知识清单 知识点1 向量在几何中的应用 1、用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” （1）建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及到的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系。 2、利用向量证明平面几何的两种经典方法 （1）线性运算法 第一步：选取合适的基底（一般选择夹角和模长已知的两个向量）； 第二步：利用基底表示相关向量； 第三步：利用向量的线性运算或数量积找到相应关系； 第四步：把计算结果“翻译”为几何问题。 （2）坐标运算法 第一步：建立适当的直角坐标系（尽可能让更多的点在坐标系上）； 第二步：把相关向量坐标化； 第三步：用向量的坐标运算找到相应关系； 第四步：利用向量关系回答几何问题。 知识点2 向量在物理中的应用 1、向量在物理应用中的主要解题思路 （1）转化问题：将物理问题转化为数学问题； （2）建立模型：建立以向量为载体的数学模型； （3）求解参数：求向量的模长、夹角、数量积等； （4）回答问题：把所得到的数学结论回归到物理问题。 2、力学问题的向量处理方法 （1）解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题，即将力学各量之间的关系抽象成数学模型，再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象； （2）向量是既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段可以有共同的起点，也可以没有共同的起点，力是既有大小，又有方向的量，用向量知识解决共点力的问题，往往需要把向量平移到同一作用点上。 3、速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成与分解，实质是向量的加减运算，运动的叠加也用到了向量的合成 （1）向量在速度、加速度上的应用，实质是通过向量的线性运算解决物理问题，最后获得物理结论； （2）用向量解决速度、加速度和位移问题，用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘，有时也可借助坐标来求解。 3、功、动量问题的向量处理方法 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力与位移的数量积，即（为与的夹角），功是一个标量，它可正，也可负。动量实际上是数乘向量。在解决问题时要注意数形结合。 知识复习 题型一、用向量证明线段垂直 一、单选题 1．（2024上·山西·高三统考期末）已知平面四边形的四条边，，，的中点依次为E，F，G，H，且，则四边形一定为（    ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．直角梯形 二、多选题 2．（2023下·江苏连云港·高一连云港高中校考期中）设点O是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则O为的重心； B．若，则O为的垂心； C．若，则为等边三角形； D．若，则△BOC与△ABC的面积之比为． 三、填空题 3．（2023上·山东泰安·高二校考开学考试）在四边形中，，则四边形的形状是 . 四、解答题 4．（2023·全国·高一随堂练习）用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：． 题型二、用向量解决夹角问题 一、单选题 1．（2023上·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）已知向量，，则（    ） A．30° B．150° C．60° D．120° 二、多选题 2．（2023上·广东广州·高二广州市第二中学校考阶段练习）在中，已知，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，下列结论正确的是（    ） A． B． C．的余弦值为 D． 三、填空题 3．（2024·广东佛山·统考一模）已知中，，边上的高与边上的中线相等，则 . 四、解答题 4．（2023下·湖南常德·高一临澧县第一中学校考阶段练习）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 题型三、用向量解决线段的长度问题 一、单选题 1．（2023上·广东佛山·高二华南师大附中南海实验高中校考期中）已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 二、多选题 2．（2023下·江苏镇江·高一统考期中）下列说法中正确的是（　　） A．在中，，，，若，则为锐角三角形 B．非零向量和满足，，则 C．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 D．在中，若，则与的面积之比为 三、填空题 3．（2023下·河南·高一校联考期中）在直角中，，点P为平面内一动点，且满足，则的最大值为 . 四、解答题 4．（2024下·全国·高一专