第04讲 平面向量的数量积及数量积坐标表示（6知识点+2大题型+强化训练）-2023-2024学年高一下学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019必修二）

第04讲 平面向量的数量积及数量积坐标表示（6知识点+2大题型+强化训练） 知识导图 知识清单 知识点1．两向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． (2)特例：①当θ＝0时，向量a，b同向． ②当θ＝π时，向量a，b反向． ③当θ＝时，向量a，b垂直，记作a⊥b. 知识点2．平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.特别地，零向量与任何向量的数量积等于0. 思考：向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不同？ [提示]　数量积的运算结果是实数，线性运算的运算结果是向量． 知识点3．投影向量 设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，这种变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量． 知识点4．向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|； 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. （4）|a·b|≤|a||b|. 知识点5．向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 思考：a·(b·c)＝(a·b)·c成立吗？ [提示]　(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线．因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立． 知识点6. 平面向量数量积的坐标表示及应用 1．平面向量数量积的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 数量积 a·b＝x1x2＋y1y2 向量垂直 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0 2.向量模的公式 设a＝(x1，y1)，则|a|＝. 3．两点间的距离公式 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝. 4．向量的夹角公式 设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b 夹角为θ，则 cos θ＝＝. 思考：已知向量a＝(x，y)，你知道与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标又是什么？ [提示]　设与a共线的单位向量为a0，则a0＝±a＝±＝±，其中正号、负号分别表示与a同向和反向． 易知b＝(－y，x)和a＝(x，y)垂直， 所以与a垂直的单位向量b0的坐标为±，其中正、负号表示不同的方向． 知识复习 题型一、平面向量的数量积及投影向量 一、单选题 1．（2024下·全国·高一专题练习）对于任意向量，下列命题中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2022上·湖南长沙·高一周南中学校考期末）在中，C为直角顶点，，则的值为（　　） A．4 B．8 C．16 D．缺少条件，做不出来 3．（2023上·北京海淀·高三北大附中校考阶段练习）在中，，，是外接圆的圆心，在线段上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2024下·山东泰安·高一山东宁阳县一中校考开学考试）下列说法正确的是（    ） A．向量在向量上的投影向量可表示为 B．若，则与的夹角的范围是 C．若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则，的夹角为 D．若，则 5．（2023上·福建莆田·高三莆田第十中学校考阶段练习）设是三个非零的平面向量，且相互不共线，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．与垂直 D． 三、填空题 6．（2024上·广东·高二校考学业考试）已知向量，，，那么 ． 7．（2023上·上海·高三上海市大同中学校考期中）已知A，B是平面内两个定点，且，点集.若M，，则向量、夹角的余弦值的取值范围是 ． 四、解答题 8．（2024·全国·模拟预测）在中，角的对边分别为，且，． (1)求的长； (2)设为边的中点，若线段的长不大于，求的长的最大值． 题型二、数量积的坐标表示 一、单选题 1．（2024下·全国·高一专题练习）已知单位向量，分别与平面直角坐标系x，y轴的正方向同向，且向量，，则平面四边形ABCD的面积为（　　） A．10 B．2 C． D．20 2．（2024上·江西·高二校联考期末）已知向量，，，则 （  ）    A． B． C． D． 3．（2023下·河南洛阳·高一校考阶段练习）如图，以为直径在正