专项五 几何证明与计算-【冲刺吧期末】2023-2024学年九年级上册数学（人教版）

冲刺吧期末 初中数学·九年级上册 8 专项五 几何证明与计算 ●(难度等级★★:1~3 难度等级★★★:4~6) 1.(新课标·提升核心素养)如图,在Rt△ABC 中,∠ABC=90°,AB=BC,点D 在边AC 上,将△ABD 绕点B 顺 时针旋转得到△CBE,连接ED 并延长交BA 的延长线于点F. (1)求证:∠CDE=∠ABD; (2)探究线段AD,CD,BE 之间的数量关系,并说明理由; (3)若AD=1,CD=3,求EF 的长. (1题图) 2.(新考向·综合与实践)问题初探: (1)如图1,已知△ABC 与△DEF 都是等腰直角三角形,顶角∠ACB=∠EDF=90°,且AB,EF 的中点均为 O,请写出BF 与CD 之间的数量关系,并证明; 问题深入: (2)如图2,已知△ABC 与△DEF 都是等边三角形,AB,EF 的中点均为O,求 BF CD 的值; 拓展创新: (3)如图3,在Rt△ABC 和Rt△DEC 中,∠ACB=∠DCE=90°,BC=2AC,EC=2DC,点E 在△ABC 的内 部,AD 与BE 的延长线交于点F,请写出线段AF,BF,CF 之间的数量关系,并证明. (2题图1) (2题图2) (2题图3) 冲刺吧期末 初中数学·九年级上册 9 3.如图1,点D 在△ABC 的边BC 的延长线上,点E 在边AB 上,连接DE 交AC 于点F. (1)若E 为AB 的中点,且BC=3CD,求 EF FD 的值; (2)如图2,若BC=CD,AE=EF,且∠BED=60°,试探究BE 与CF 之间的数量关系. (3题图1) (3题图2) 4.如图1,在△ABC 中,∠B=45°,点D 在线段AB 上,连接CD,∠A+∠BDC=90°. (1)求证:∠BCA+∠BCD=180°; (2)如图2,过点C 作CF⊥AB 于点F,在CF 上取一点G,连接BG 并延长交AC 于点H,若FG+BG=AF, 求证:CG=HG; (3)如图3,在(2)的条件下,过点A 作AE⊥AB 交BH 的延长线交于点E,过点E 作EK⊥BC 交BC 的延长 线于点K,若AD=4,DF= 16 5 ,求BK 的长. (4题图1) (4题图2) (4题图3) 冲刺吧期末 初中数学·九年级上册 10 5.(1)如图1,△ABC 和△MDE 都是等腰三角形,CA=CB,MD=ME,∠ACB=∠DME,M,N,F 分别是边 AB,AC,BC 的中点,点D 在CB 的延长线上,连接EN,猜想DF 与EN 之间的数量关系,并说明理由; (2)如图2,△ABC 和△MDE 都是等腰直角三角形,∠BAC=∠MDE=90°,M,N,F 分别是边AB,AC,BC 的中点,点D 在CB 的延长线上,连接EN,则 DF EN 的值为 ; (3)如图3,在△ABC 和△MDE 中,∠ACB=∠DME,ME=mMD,BC=mAC,M,N,F 分别是边AB,AC, BC 的中点,点D 在CB 的延长线上,连接EN,求 DF EN 的值. (5题图1) (5题图2) (5题图3) 6.(新考向·综合与实践)探索发现: 如图1,在等边三角形ABC 中,G 为BC 的中点,点D,E 分别在边BC,AC 上,BD=CE. (1)求证:∠BAD=∠CBE; (2)若点 H 在EF 上,且∠BHG+∠AFH=90°,求 AF FH 的值; 迁移拓展: (3)如图2,在等腰直角三角形ABC 中,∠CAB=90°,G 为斜边BC 的中点,D 为BG 的中点,BD=1,点E 在 AC 上,CE= 2BD,点 H 在EF 上,若∠BHG+∠AFH=90°,求GH 的长. (6题图1) (6题图2) 冲刺吧期末 初中数学·九年级上册 49 ∵∠DAO= 1 2∠BAD=30° ,∴∠PAD=150°. ∵BM=3CM,∴CM= 3,BM=33. ∵P(m,0),∴OP=-m,AP=-m-6. 由旋转的性质,得DP=DQ,∠PDQ=120°. ∴∠PDQ=∠ADC,即∠ADP=∠CDQ. 又AD=CD,∴△APD≌△CQD. ∴∠PAD=∠QCD=150°,AP=CQ=-m-6,∠APD=∠Q. ∵∠QCM=∠QCD-∠BCD=150°-60°=90°, ∴∠POD=∠QCM. ∴△POD∽△QCM. ∴ OP CQ= OD CM ,即 -m -m-6= 23 3 . ∴m=-12. ②当-6<m<0时,如图,过点D 作DF⊥BC 于点F. ∴∠DFB=90°. ∵△BCD 是等边三角形,BC=43, ∴BF=CF=23,DF=6. ∵BM=3CM,∴BC=2CM. ∴CM=23.∴FM=43