专项三 圆的证明与计算-【冲刺吧期末】2023-2024学年九年级上册数学（人教版）

冲刺吧期末 初中数学·九年级上册 5 专项三 圆的证明与计算 ●(难度等级★:1~4 难度等级★★:5~6) 1.如图,点A 在☉O 上,BC 为☉O 的直径,过点O 作BA 的平行线交AC 于点E,交过点C 的直线于点D,且 ∠D=∠BCA. (1)求证:CD 是☉O 的切线; (2)若AB=2,BC=23,求CD 的长. (1题图) 2.如图,△ABC 内接于☉O,DE 为☉O 的切线,切点为D,与AB 的延长线交于点E,BC 为☉O 的弦,DE∥ BC,连接AD,BD. (1)求证:∠BAC=2∠BAD; (2)若BD= 3,AC=2,DE= 5 2 ,求AD 的长. (2题图) 3.如图,在☉O 中,∠AOB=120°,C 为AB︵ 上一点,且AC︵=BC︵,连接AC,BC,过点A 作AD⊥BC,交BC 的 延长线于点D,DA 的延长线与BO 的延长线相交于点E,DO 与AC 相交于点F. (1)求证:DE 是☉O 的切线; (2)若☉O 的半径为2,求DF 的长. (3题图) 4.如图,☉O 的直径CD 与弦AB,AF 分别相交于点E,H,连接CF,FB,BD,AD,AO.已知CF=CH,FB=BD. (1)求证:AB⊥CD; (2)若AE=4,OH=1,求AO 的长. (4题图) 5.如图,☉O 的直径AB=12,点C 在☉O 上,AD 与过点C 的切线互相垂直,垂足为D,AD 交☉O 于点E, ∠DAC=30°. (1)求∠BAC 的度数及CD 的长; (2)求阴影部分的面积. (5题图) 6.如图,AB 是☉O 的直径,C 为☉O 上一点,点D 在AB 上,且AD=AC,CD 的延长线与☉O 交于点E. (1)求证:∠CAB=2∠BCE; (2)若AB=4,CE=22,求∠BCE 的度数. (6题图) 冲刺吧期末 初中数学·九年级上册 47 ∴AE=AD·sin 45°≈173× 2 2 ≈122.3. ∴DE=122.3. 在Rt△BDE 中,∵tan∠BDE= BE DE , ∴BE=DE·tan 60°≈122.3× 3≈211.8. ∴AB=AE+BE=122.3+211.8=334.1≈334(m). 答:隧道AB 的长度约为334 m. (1题图) 2.解:根据题意,得AD∶CD=1∶3. 设AD=x,则CD=3x. ∴AC= AD2+CD2= x2+(3x)2= 10x. ∵AC=6 10,∴ 10x=6 10.解得x=6. ∴AD=6,CD=18. 在Rt△ABD 中,∵tan∠ABD= AD BD ,∠ABD=30°, ∴BD= AD tan 30°= 6 tan 30°=63. ∴BC=CD-BD=18-63≈8(m). 答:改动后扶梯水平宽度增加的部分BC 的长约为8 m. 专项三 圆的证明与计算 1.解:(1)证明:∵BC 为☉O 的直径,∴∠BAC=90°. ∵BA∥OD,∴∠OEC=∠BAC=90°. ∴OE⊥CA.∴∠D+∠DCE=90°. ∵∠D=∠BCA, ∴∠BCA+∠DCE=90°,即∠BCD=90°. ∴OC⊥CD. ∵OC 是☉O 的半径, ∴CD 是☉O 的切线. (2)∵AB=2,BC=23,∠BAC=90°, ∴根据勾股定理,得 AC= BC2-AB2 = (23)2-22 = 22,OC= 1 2BC= 3. 由(1),知∠DCO=∠CAB=90°. 又∠D=∠BCA,∴△DOC∽△CBA. ∴ CD AC= OC BA ,即CD 22 = 3 2. ∴CD= 6. 2.解:(1)证明:如图,连接OD 交BC 于点F. ∵DE 为☉O 的切线,切点为D, ∴OD⊥DE,即∠ODE=90°. ∵DE∥BC,∴∠OFB=∠ODE=90°,即OD⊥BC. ∴BD︵=CD︵.∴∠BAD=∠DAC. ∵∠BAC=∠BAD+∠DAC, ∴∠BAC=2∠BAD. (2题图) (2)如图,连接CD. ∵DE∥BC,∴∠ABC=∠E. ∵AC︵=AC︵,∴∠ADC=∠ABC.∴∠ADC=∠E. 由(1),知∠BAD=∠DAC. ∴△EAD∽△DAC.∴ AD AC= DE CD. 由(1),知BD︵=CD︵.∴BD=CD. ∵BD= 3,AC=2,DE= 5 2 , ∴ AD 2 = 5 2 3 .∴AD= 53 3 . 3.解:(1)证明:如图,连接OC. ∵AC︵=BC︵,∴AC=BC. ∴∠AOC=∠BOC. ∵∠AOB=120°,∠AOB=∠AOC+∠BOC, ∴∠AOC=∠BOC=60°. 又OA=OC=OB, ∴△AOC 和△BOC 都是等边三角形. ∴OA=AC=BC=OB,∠AOC=∠OCB=60°. ∴四边形OACB 是菱