第六讲：复数（七大题型）-2023-2024学年高一数学下学期同步提升讲义（人教A版2019必修第二册）

第六讲：复数 知识点填空 1．复数的定义 形如_______________的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足___________,________叫做复数的实部，_______叫做复数的虚部.全体复数所构成的集合C={a＋bi|a，b∈R}叫做复数集。 2. 复数的表示 复数通常用字母z表示，即_____________　(a，b∈R)． 3. 复数的相等 在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当 _____且_________. 4. 复数的分类 5.复平面的定义 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做_______，y轴叫做_______.实轴上的点都表示_________；除了原点外，虚轴上的点都表示________． 6.复数的两种几何意义 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点_________； (2)复数z＝a＋bi(a，b∈)平面向量___________. 7.复数的模 (1)定义：复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为，则的模叫做复数z的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即:______________. 8.共轭复数 复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么___________ 9.复数的加减运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则：____________________________。 10.复数的乘法运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则__________________. 11.复数的除法运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)，则_______________________. 12.复数的三角表示式 已知复数z=a+bi，则： （1） 复数的模__________________. （2） 辐角θ：θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，且。 （3）三角形式：___________叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式。 题型目录 题型一：复数的概念 题型二：复数的几何意义 题型三：复数的加法、减法运算法则 题型四：复数的乘除法运算法则 题型五：复数的乘方运算法则 题型六：复数范围内的方程的根 题型七：复数的三角表示 题型一：复数的概念 【典例例题】 例1.求实数m的值或取值范围，使得复数分别满足： (1)z是实数； (2)z是纯虚数； (3)z在复平面中对应的点位于第三象限. 【变式训练】 1.如果复数是纯虚数，是虚数单位，则（    ） A．且 B． C． D．或 2．设复数，则的共轭复数的模为（    ） A．7 B．1 C．5 D．25 3．已知为虚数单位，，集合，则（    ） A． B． C． D． 4．设，则下列命题中为真命题的序号是 . ①若，则； ②的充要条件为； ③复数为实数的充要条件为； ④若，则为纯虚数. 5.实数m取什么数值时，复数分别是： (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ 题型二：复数的几何意义 【典例例题】 例1.已知复数满足，其中为虚数单位. (1)求； (2)若复数，在复平面内对应的点分别为，若四边形是复平面内的平行四边形，求点对应的复数. 【变式训练】 1.复数在复平面上对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.设，若复数在复平面内的对应点在第三象限，求的取值范围． 3．在复平面内，若复数对应的点： (1)在虚轴上； (2)在第三象限． 4.如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i．求： (1)对应的复数； (2)对应的复数； (3)对应的复数及的长度． 题型三：复数的加法、减法运算法则 【典例例题】 例1.如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（    ）． A． B． C． D． 【变式训练】 1.如图，设向量，，所对应的复数为z1，z2，z3，那么（ ） A．z1－z2－z3＝0 B．z1＋z2＋z3＝0 C．z2－z1－z3＝0 D．z1＋z2－z3＝0 2.已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为 ． 3.设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4.在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数