专题03 平面向量基本定理及坐标表示（4知识点+5题型）-2023-2024学年高一数学阶段复习考点归纳总结突破练（人教A版2019必修第二册）

专题3 平面向量基本定理及坐标表示（4知识点+5题型）平面向量基本定理及坐标表示 常考题型 平面向量数量积的几何与坐标运算 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量基本定理 题型一：平面向量基底的选择 题型二：平面向量基本定理应用及线性运算 题型三：平面向量线性运算的坐标表示 题型四：平面向量数量积的坐标表示及向量共线、垂直的坐标表示 题型五：向量坐标运算的几何应用 知识点一：平面向量基本定理 如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且仅有一对实数，，使得．我们把不共线的向量｛、｝叫做表示这个平面内所有向量的一组基底． 知识点二：平面向量的正交分解及坐标表示 （1）平面向量的正交分解 把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量，叫做平面向量的正交分解． （2）平面向量的坐标表示 ①正交基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底． ②平面向量坐标表示：对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x、y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做向量a在x轴上的坐标，y叫做向量a在y轴上的坐标． 其中：=(1，0)，=(0，1)，=(0，0). （3）向量与坐标的关系 设＝xi＋yi，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标就是向量的坐标(x，y)． 因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的． 知识点三：平面向量线性运算的坐标表示 （1）两个向量和（差）的坐标表示 已知非零向量 则： （2）向量数乘的坐标表示 知识点四：平面向量数量积的几何与坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与的关系 (当且仅当时等号成立) 题型一：平面向量基底的选择 解题思路：作为基底要求两个向量不共线 例1．设、是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（ ） A．和 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】判断出哪个选项的两个向量共线即可. 【详解】对于C，共线，不能作为基底， 对于ABD，两组向量都不共线， 故选：C. 例2．下列各组向量中，不能作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】分别判断四个选项中的两个向量是否共线得到答案. 【详解】对于A，，，由零向量与任意向量共线，可知两个向量不能作为基底； 对于B，因为，，所以，所以两个向量不共线，可以作为基底； 对于C，因为，，所以，可知两个向量共线，故不可以作为基底； 对于D，由，，得：，可知两个向量共线，故不能作为基底； 故选：ACD 例3．下列结论正确的是（    ） A．一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底 B．若，是单位向量)，则 C．向量与共线存在不全为零的实数使 D．已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若则 【答案】CD 【分析】由平面基底的概念以及平面向量基本定理可判断AB，由共线向量定理可判断CD. 【详解】对于A，由平面基底的概念可知，只要不共线的任何两个向量都可以作为平面的一组基底向量，故A错误； 对于B，不妨设，，此时有，但不成立，故B错误； 对于C，向量共线定理的充要条件可知C正确； 对于D，由向量共线定理可知， 其中， 若则，故D正确. 故选：CD. 变式训练 4．已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由零向量与任意向量共线判断A，根据判断B，设，建立方程，根据方程解的情况判断C，根据判断D. 【详解】对于A：零向量与任意向量均共线，所以此两个向量不可以作为基底； 对于B：因为，，所以，所以此两个向量不可以作为基底； 对于C：设，即，则，所以无解，所以此两个向量不共线，可以作为一组基底； 对于D：设，，所以，所以此两个向量不可以作为基底； 故选：C. 5．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据平面向量共线定理逐一判断即可. 【详解】对于A，，则为共线向量，不能作为平面向量的基底； 对于B，，则为共线向量，不能作为平面向量的基底； 对于C，，则为共线向量，不能作为平面向量的基底； 对于D，明显不存在实数使，则不共线，可以作为平面向量的基底. 故选：ABC. 6．若，是平面内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（    ） A．可以