专题1-4点到直线的距离（考点清单，5种题型典例剖析+考场练兵）-2023-2024学年高二数学下学期期中考点大串讲（沪教版2020选修）

专题1-4点到直线的距离（考点清单，5种题型典例剖析+考场练兵） 知识点1．点到直线的距离 1．点到直线的距离 点到直线的距离，是指从点到直线的垂线段的长度，其中为垂足．实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外一点所连线段的长度的最小值． 2．点到直线的距离公式 平面上任意一点到直线l：Ax+By+C=0（A，B不同时为0）的距离为． 【点拨】用向量法推导点P到直线l的距离|PQ|公式的向量法推导，在直线上取任意一点M，与直线方向向量垂直的单位向量为n，则有 ，所以有. 知识点2．点到直线的距离问题 （1）求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可． （2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线x=a或y=b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成或． （3）若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可． 知识点3.两条平行直线间的距离 1．两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长． 2．两条平行直线间的距离公式 一般地，两条平行直线（其中A与B不同时为0，且）间的距离． 知识点4．直线关于直线对称 （1）直线与关于直线l对称，它们具有以下几种几何性质： ①若与相交，则直线l是、夹角的平分线； ②若与平行，则直线l在、之间且到、的距离相等； ③若点A在上，则点A关于直线l的对称点B一定在上，此时AB⊥l，且线段AB的中点M在l上（即l是线段AB的垂直平分线）．充分利用这些性质，可以找出多种求直线的方程的方法． （2）常见的对称结论有：设直线l为Ax+By+C=0， ①l关于x轴对称的直线是Ax+B（−y）+C=0； ②l关于y轴对称的直线是A（−x）+By+C=0； ③l关于直线y=x对称的直线是Bx+Ay+C=0； ④l关于直线y=−x对称的直线是A（−y）+B（−x）+C=0． 知识点5．两点间的距离 两点间的距离公式 平面上任意两点间的距离公式为. 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离． 知识点6．对称问题 对称问题包括点关于点的对称、点关于直线的对称、直线关于点的对称． 1．点关于点对称 点关于点的对称是对称问题中最基本的问题，是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称问题． 设点关于点M（a，b）的对称点为P′（x，y），则有，所以，即点．特别地，点P关于坐标原点O的对称点为． 2．点关于直线对称 对于点关于直线的对称问题，若点P关于直线l的对称点为，则直线l为线段的中垂线，于是有等量关系： ①（直线l的斜率存在且不为零）； ②线段的中点在直线l上； ③直线l上任意一点M到P，的距离相等，即． 常见的点关于直线的对称点： ①点关于x轴的对称点； ②点关于y轴的对称点； ③点关于直线y=x的对称点； ④点关于直线y=−x的对称点； ⑤点关于直线x=m（m≠0）的对称点； ⑥点关于直线y=n（n≠0）的对称点 题型一：求点到直线的距离 一、填空题 1．（2023下·上海静安·高二校考期中）点到直线的距离为 ． 2．（2023·上海·高二专题练习）已知为坐标原点，在直线上存在点，使得，则的取值范围为 ． 3．（2023下·上海浦东新·高二统考期中）已知动点在直线上，则的最小值为 . 二、解答题 4．（2023上·高二课时练习）求平行直线与之间的距离． 5．（2023上·高二课时练习）分别求点到下列直线的距离： (1)； (2)． 6．（2023上·高二课时练习）已知点是直线上任意一点，求点与点之间距离的最小值． 7．（2023下·上海浦东新·高二华师大二附中校考开学考试）已知直线，直线，点，为和的交点.求分别满足下列条件要求的过点的直线方程. (1)平行于直线. (2)点到所求直线的距离最大. 8．（2023下·上海·高二期中）在平面直角坐标系内，已知点P及线段l，Q是线段l上的任意一点，线段长度的最小值称为“点P到线段l的距离”，记为. (1)设点，线段，求； (2)设､､，线段，线段，若点是上的动点，请将表示成x的函数. 9．（2023下·上海嘉定·高二上海市育才中学校考期中）已知直线和， (1)求与l1与l2距离相同的点的轨迹； (2)过l1与l2交点作一条直线l，使它夹在两平行线与之间的线段长为，求直线l的方程． 10．（2023上·高二课时练习）证明：点到直线的距离恒小于． 题型二：直线围成图形的面积问题 一、填空题 1．（2024上·上海·高二华师大二附中校考期末）已知直线，，，三条直线围成，则当面积取得最大时的值为 . 二、解答题 2．（2023上·上海奉贤·高二上