第十六章 专题一 二次根式的混合运算及化简求值技巧(习题课件)-【优+学案】2023-2024学年八年级下册数学课时通(人教版)

年级下册·RJ 数 学 第十六章　二次根式 专题一　二次根式的混合运算及化简求值技巧 ⁠ ⁠利用整体思想计算 1.已知x＝＋2，y＝－2，求下列各式的值： （1）＋. 解：＋＝. ∵x＝＋2，y＝－2，∴x＋y＝2，xy＝3.∴原式＝. （2）x2－xy＋y2. 解：x2－xy＋y2＝（x＋y）2－3xy. ∵x＝＋2，y＝－2，∴x＋y＝2，xy＝3.∴原式＝（2）2－3×3＝19. 2. ⁠ ⁠先阅读，再解答问题： 恒等变形是代数式求值的一个很重要的方法.利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式. 例如：当x＝＋1时，求x3－x2－x＋2的值. 为解答这道题，若直接把x＝＋1代入所求的式中进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答. 方法：将条件变形，因x＝＋1，得x－1＝，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算. 由x－1＝，可得x2－2x－2＝0，即x2－2x＝2，x2＝2x＋2. 原式＝x（2x＋2）－x2－x＋2＝x2＋x－x2－x＋2＝2. 请参照以上解决问题的思路和方法，解决以下问题： （1）若x＝－1，求2x3＋4x2－3x＋1的值. 思路分析：变形已知条件得到x＋1＝，两边同时平方，得到x2＋2x＝1，再利用降次和整体代入的方法把原式化为－x＋1，然后把x的值代入计算即可； 解：（1）∵x＝－1，∴x＋1＝，∴（x＋1）2＝2， 即x2＋2x＋1＝2，∴x2＋2x＝1，x2＝1－2x， ∴原式＝2x（1－2x）＋4x2－3x＋1＝2x－3x＋1 ＝－x＋1＝－（－1）＋1＝2－. （2）已知x＝2＋，求的值. 思路分析：变形已知条件，把x－2＝的两边同时平方，得到x2－4x＝－1或x2＝4x－1，再利用降次和整体代入的方法化简原式，从而得到原式的值. 解：∵x＝2＋，∴x－2＝，∴（x－2）2＝3，即x2－4x＋4＝3， ∴x2－4x＝－1，x2＝4x－1， ∴原式＝[（4x－1）2－x（4x－1）－9（4x－1）－5x＋5]＝（16x2－8x＋1－4x2＋x－36x＋9－5x＋5）＝[12（4x－1）－48x＋15]＝（48x－12－48x＋15）＝×3＝. ⁠ 利用数形结合思想计算 3.（2023·江门期末）如图所示，从正方形ABCD中裁去两个面积分别为24 cm2和15 cm2的正方形BEOH和DFOG，求留下部分的总面积. 思路分析：先得出小正方形的边长，从而求出大正方形的边长，从而计算面积. 解：从一个大正方形中裁去面积为24 cm2和15 cm2的两个小正方形， ∴两个小正方形的边长分别为 cm和cm， ∴大正方形的边长是（＋）cm， ∴留下部分的总面积为（＋）2－24－15＝12（cm2）. 4.实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：＋－－. 解：由数轴可知：－2＜a＜－1，1＜b＜2， ∴a＋1＜0，b－1＞0，a－b＜0，1－a＋b＞0， ∴＋－－ ＝－（a＋1）＋（b－1）－（b－a）－（1－a＋b） ＝－a－1＋b－1－b＋a－1＋a－b ＝a－b－3. ⁠ ⁠利用乘法公式计算 5.已知x＝，y＝，求x＋y，xy的值. 解：∵x＝＝＝＝＋， y＝＝＝＝－， ∴x＋y＝＋＋－＝2，xy＝（＋）（－）＝3－2＝1. 6.利用乘法公式计算： （1）（2＋3）2； 解：（2＋3）2＝（2）2＋2×2×3＋（3）2＝8＋12＋27＝35＋12. （2）（＋2）（2－）＋（－）2. 解：（＋2）（2－）＋（－）2＝4－3＋3－2＋2＝6－2. 7. ⁠ ⁠阅读材料：小明在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2＝（1＋）2，善于思考的小明进行了以下探索： 设a＋b＝（m＋n）2（其中a，b，m，n均为正整数）， 则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn， ∴a＝m2＋2n2，b＝2mn.这样小明就找到了一种把部分a＋b的式子化为平方式的方法. 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a，b，m，n均为正整数时，若a＋b＝（m＋n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝ 　m2＋6n2　⁠，b＝ 　2mn　⁠. 思路分析：利用完全平方公式展开得到（m＋n）2＝m2＋2mn＋6n2，再利用对应值相等即可用m，n表示出a，b； m2＋6n2 2mn （2）若a＋4＝（m＋n）2，且a，m，n均为正整数，求a的值. 思路分析：直接利用完全平方公式，变形后得到对应值相等，即可求出答案； 解：∵（m