第4讲 勾股定理（5个知识点+5种题型+强化训练）2023-2024学年八年级下学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第4讲 勾股定理（5个知识点+5种题型+强化训练） 知识导图 知识清单 知识点1．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 知识点2．勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 知识点3．勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 知识点4．勾股数 勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． 说明： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 知识点5．勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 知识复习 一．勾股定理（共9小题） 1．（2023秋•高安市期末）已知的边，周长为16，当为等腰三角形时，则边的长度是 　　． 2．（2024•宝安区校级开学）如图，中，，平分，交于点，延长至点，使，连接． （1）求证：； （2）连接，若，，求的面积． 3．（2023秋•漳州期末）如图，在中，，若，，则的长是　　 A．1 B． C．2 D． 4．（2023秋•姜堰区期末）如图，在平面直角坐标系中，点、，点在轴的负半轴上，连接，．若，是的高，则点的坐标是 　　． 5．（2023秋•新乡期末）如图，在中，，，，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动．设点的运动时间为． （1）　　； （2）求斜边上的高线长； （3）①当在上时，的长为 　　，的取值范围是 　　；（用含的代数式表示） ②若点在的平分线上，则的值为 　　． 6．（2023秋•兴平市期末）如图、在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为　　 A．6 B． C．5 D． 7．（2023秋•海陵区校级期末）在中，，，，则　　． 8．（2024•碑林区校级开学）已知：如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以每秒1个单位长度的速度移动，设运动的时间为秒． （1）　　，边上的高　　； （2）当为直角三角形时，求的值． 9．（2023秋•碑林区校级期末）如图，在中，过点作的垂线交的延长线于点，已知，，，则的长度为　　 A．15 B．16 C．18 D．20 二．勾股定理的证明（共8小题） 10．（2023秋•高青县期末）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，，则正方形的面积为　　 A．4 B．8 C．12 D．16 11．（2023秋•黔江区期末）我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的