第02讲 取整函数问题-2024年新高考数学二轮复习专题突破精练（新高考地区专用）

第02讲 取整函数问题 【典型例题】 例1．（2024·山西吕梁·校考模拟预测）用[]表示不大于实数a的最大整数，如[1.68]=1，设分别是方程及的根，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 例2．（2024·河北·高三雄县第一高级中学校联考期末）高斯是德国数学家､天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德､牛顿并列，同享盛名.用他名字命名的高斯函数也称取整函数，记作，是指不超过实数的最大整数，例如，该函数被广泛应用于数论､函数绘图和计算机领域.若函数，则当时，的值域为（    ） A． B． C． D． 例3．（2024·全国·高三专题练习）高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，如，，已知数列满足，，，若，为数列的前n项和，则（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 例4．（2024·四川成都·高三校考开学考试）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用[x]表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数．例如：，已知函数，则函数的值域为（　　） A． B． C． D． 例5．（2024·全国·高三专题练习）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过x的最大整数，例如．已知，，则函数的值域为 ． 例6．（2024·重庆·高三四川外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）已知，函数在有极值，设，其中为不大于的最大整数，记数列的前项和为，则 . 例7．（2024·吉林长春·长春市第二中学校考模拟预测）定义函数，其中表示不超过的最大整数，例如：，，.当时，的值域为.记集合中元素的个数为，则的值为 . 例8．（2024·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为“高斯函数”，例如：，.已知数列满足，，，若，为数列的前项和，则 . 例9．（2024·全国·高三专题练习）对于正整数n，设是关于x的方程的实数根.记，其中表示不超过x的最大整数，则 ；设数列的前n项和为则 . 例10．（2024·全国·高三专题练习）已知表示不超过实数的最大整数，如，，为取整函数，是函数的零点，则 ． 【过关测试】 一、单选题 1．（2024·全国·高三专题练习）定义表示不超过的最大整数，.例如：，.①；②存在使得；③是成立的充分不必要条件；④方程的所有实根之和为，则上述命题为真命题的序号为（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 2．（2024·全国·高三专题练习）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过的最大整数，例如，.已知，，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉．函数称为高斯函数，其中，表示不超过x的最大整数，例如：，，则方程的所有解之和为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·全国·高三专题练习）已知，符号表示不超过的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 5．（2024·全国·高三专题练习）对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如：．如果定义函数，那么下列命题中正确的一个是（ ） A． B．方程有且仅有一个解 C．函数是周期函数 D．函数是减函数 二、多选题 6．（2024·全国·高三校联考竞赛）已知定义域为的函数，其中代表不超过的最大整数.设数列满足：是在上最大值，数列满足：且，则下列说法正确的是（    ） A．最小值为 B．在有个极值点 C． D． 7．（2024·甘肃·高三武威第六中学校联考开学考试）已知函数（，其中表示不大于的最大整数），则（    ） A．是奇函数 B．是周期函数 C．在上单调递增 D．的值域为 8．（2024·全国·高三专题练习）设表示不超过x的最大整数，如：，，又称为取整函数，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（    ） A．是奇函数 B．，，若，则 C．， D．不等式的解集为 9．（2024·全国·高三专题练习）设函数，若表示不超过的最大整数，则的函数值可能是（    ） A．0 B． C．1 D．2 10．（2024·广东·珠海市第一中学校联考模拟预测）已知函数定义域为R，满足，当时， .若函数的图象与函数的图象的交点