18.1.1 第1课时 平行四边形的对角线的特征 课件 2023—2024学年人教版数学八年级下册

The properties of parallelograms 平 行 四 边 形 的 第十八章 平行四边形 性 质 18.1.1 第2课时 平行四边形的对角线的特征 学习目标 01 02 03 掌握平行四边形对角线互相平分的性质； 经历对平行四边形性质的猜想与证明的过程； 渗透转化思想， 体会图形性质探究的一般思路. 重点 难点 Thinking skill 情景引入 导入新课 一位饱经沧桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩 子，他是这样分的： 当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己分的地少，同学们，你认为老人这样分合理吗?为什么? 一、平行四边形的对角线的性质 我们知道平行四边形的边角这两个基本要素的性质，那么平行四边形的对角线又具有怎样的性质呢? A B C D O 如图，在□ABCD中，连接AC,BD,并设它们相交于点O. OA与OC,OB与OD有什么关系? 猜一猜 OA=OC,OB=OD 怎样证明这个猜想呢？ 已知：如图,□ ABCD的对角线AC、BD相交于点O. 求证：OA=OC，OB=OD. 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD=BC，AD∥BC, ∴ ∠1=∠2，∠3=∠4, ∴ △AOD≌△COB（ASA）, ∴ OA=OC，OB=OD. A C D B O 3 2 4 1 证一证 归纳总结 A C D B O 平行四边形的对角线互相平分. 平行四边形的性质 应用格式： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ OA=OC，OB=OD. 问题 平行四边形的对角线分平行四边形ABCD为四个三角形，它们的面积有怎样的关系呢？ 还可结合全等来证哟. 平行四边形的对角线分平行四边形为四个面积相等的三角形，且都等于平行四边形面积的四分之一.相对的两个三角形全等. 归纳 解：相等.理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵△ADO与△ODC等底同高， ∴S△ADO=S△ODC. 同理可得S△ADO=S△ODC=S△BCO=S△AOB. 典例精析 例1 已知 ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边的长． 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC. ∵△AOB的周长比△DOA的周长长5cm， ∴AB－AD＝5cm. 又∵ ABCD的周长为60cm，∴AB＋AD＝30cm， 则AB＝CD＝17.5cm,AD＝BC＝12.5cm. 平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差． 归纳 【变式题】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，平行四边形ABCD的周长是100cm，△AOB与△BOC的周长的和是122cm，且AC:DB= 2:1，求AC和BD的长． 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AB=CD，OB=OD， ∴AB+BC=50. ∵△AOB与△BOC的周长的和是122cm， ∴OA+OB+AB+OB+OC+BC=122， 即AC+BD=122-50=72. 又∵AC:DB=2:1， ∴AC=48cm，BD=24cm． 例2 如图， ABCD的对角线AC,BD交于点O.过点O作直线EF,分别交AB,CD于点E，F.求证：OE=OF. A B C D F E O 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠ODF=∠OBE, ∠DFO=∠BEO, ∴△DOF≌△BOE（AAS）, ∴AB∥CD, OD=OB, ∴OE=OF. 思考 改变直线EF的位置，OE=OF还成立吗? 典例精析 议一议 A B C D O E F A B C D O E F A B C D O E F 请判断下列图中，OE=OF还成立么？ 同例3易证明OE=OF还成立. 过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等. 归纳 A B C D O F E 例3 如图，AC,BD交于点O，EF过点O,平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等吗？ M N 解：设直线EF交AD,BC于点N,M. ∵AD∥BC, ∴∠NAO=∠MCO,∠ANO=∠CMO. 又∵AO=CO, ∴△NAO≌△MCO， ∴S四边形ANMB=S△NAO+S△AOB+S△MOB=S△MCO+S△AOB+S△MOB =S△AOB+S△COB=