6.3 二项式定理 2023-2024学年高二数学下学期重点题型方法与技巧（人教A版2019选择性必修第二册）

二项式定理 1 二项式展开式 2 二项展开式的通项公式 3 二项式系数表(杨辉三角) 展开式的二项式系数，当依次取时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 . 4 二项式系数的性质 (1)对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． 直线是图象的对称轴． (2)增减性与最大值： 当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项 ，取得最大值． (3)二项式系数和：， 奇数项的系数等于偶数项的系数等于， 备注 令，则， 令 ，则， 奇数项的系数等于偶数项的系数等于. 特别提醒 1. 在运用二项式定理时一定要牢记通项公式.另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只是指，而后者是指字母外的部分. 2．在使用通项公式时，要注意通项公式是表示第项，而不是第项. 【题型1】 单个二项式展开式 【典题1】 (多选)若展开式的二项式系数之和为64 ，则下列结论正确的是 ( ) A. 该展开式中共有 6项 B. 各项系数之和为1 C. 常数项为-60 D. 只有第 4项的二项式系数最大 【巩固练习】 1.(★) 二项式展开式的常数项为( ) A. -70 B. 70 C. D. 2.(★) 的展开式中的系数为160 ，则 ) A. 2 B. -2 C. 4 D. -4 3.(★★)已知，则 A. -60 B. -30 C. 30 D. 60 4.(★★★) (多选)已知二项式，则下列说法正确的是 ( ) A.若，则展开式中的常数项为15 B.展开式中有理项的个数为4 C. 若展开式中各项系数之和为64 ，则 D.展开式中二项式系数最大的项为第 3项 5.(★★★★)已知 是正整数，的展开式中的系数为7 . (1)对于使 的系数为最小的，求出此时 的系数； (2)利用上述结果，求 的近似值； (精确到0.01) (3)已知展开式的二项式系数的最大值为，系数的最大值为，求 . 【题型2】 两个二项式相乘 【典题1】 展开式中的系数是 ( ) A. 5 B. 65 C. -5 D. -65 【巩固练习】 1.(★★) 的展开式中含项的系数为 A. 20 B. -20 C. 30 D. -30 2.(★★) 的展开式中的系数为 A. 55 B. -70 C. 30 D. -25 3.(★★)已知的展开式中的常数项为0 ，则 A. 3 B. -3 C. 2 D. -2 4.(★★)的展开式中的系数为 A. 10 B. -10 C. 20 D. -20 5.(★★★)已知，则 A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【题型3】 多项式展开式 【典题1】 的展开式中，项的系数为 A. 10 B. -10 C. 30 D. -30 【巩固练习】 1.(★★) 的展开式中，的系数为 A. 8 B. 9 C. 10 D. 20 2.(★★) 已知等差数列的第项是展开式中的常数项，则(　　) A． B． C． D． 3.(★★)展开式中项的系数为(　　) A． B． C． D． 【题型4】 系数问题 【典题1】 ，则 A. -32 B. 0 C. 32 D. 64 【巩固练习】 1.(★★) 若，则 A. -1 B. 2 C. 1 D. 0 2.(★★) 已知，则 等于( ) A. 1 B. 243 C. 121 D. 122 3.(★★★)(多选)若，其中 为实数，则( ) A. B. C. D. 4.