第03讲 平面向量基本定理及坐标表示（3个知识点+3种题型+强化训练）-2023-2024学年高一下学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019必修二）

第03讲 平面向量基本定理及坐标表示（3个知识点+3种题型+强化训练） 知识导图 知识清单 知识点一、　平面向量基本定理 条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量 结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 基底 {e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 思考：0能与另外一个向量a构成基底吗？ [提示]　不能．基向量是不共线的，而0与任意向量是共线的． 知识点二、平面向量的正交分解及坐标表示 1. 平面向量的正交分解： 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． 2. 平面向量的坐标表示： 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a＝(x，y)叫做向量的坐标表示． 3. 向量坐标与点的坐标之间的联系 在平面直角坐标系中，以原点O为起点作＝a，设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)也就是向量的坐标． 知识点三、平面向量的线性运算的坐标表示 1. 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有： 加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 重要结论 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则＝(x2－x1，y2－y1) 2．数乘运算的坐标表示 (1)符号表示：已知a＝(x，y)，则λa＝λ(x，y)＝(λx，λy)． (2)文字描述：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标． 3．平面向量共线的坐标表示 (1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果用坐标表示，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. 思考：两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标条件能表示成＝吗？ [提示]　不一定，x2，y2有一者为零时，比例式没有意义，只有x2y2≠0时，才能使用． 知识复习 题型一、平面向量基本定理 一、单选题 1．在等腰梯形中，，，点是线段上靠近的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024上·陕西西安·高三统考期末）在中，在上，且在上，且．若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024下·山东德州·高三统考开学考试）在中，点在直线上，且满足，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2024下·全国·高一专题练习）若，是平面内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（    ） A．可以表示平面内的所有向量 B．对于平面中的任一向量，使的实数，有无数多对 C．，，，均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使 D．若存在实数，，使，则 5．（2024上·湖南长沙·高一长沙一中校考期末）下列各组向量中，不能作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 三、填空题 6．（2024下·全国·高一专题练习）如图，在正方形ABCD中，设，，，则以为基底时，可表示为 ，以为基底时，可表示为 ． 四、解答题 7．（2024下·全国·高一专题练习）如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点，设，，，求证：. 8．（2024·全国·高三专题练习）如图，在中，若，，过点的直线交直线分别于两点，且，探究之间的关系.    题型二、平面向量的坐标表示 一、单选题 1．若向量，，，则可用向量，表示为（　　） A． B． C． D． 2．（2024上·江苏常州·高三统考期末）已知扇形的半径为5，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，，，弧的中点为，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024下·全国·高一专题练习）如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量作为基底，若，，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在正八边形中，，则（　　） A．1 B． C． D． 二、多选题 5．（2023下·安徽合肥·高一合肥一中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，若点A(2，3)，B(-3，4)，如图所示，x轴、y轴同方向上的两个单位向量分别为和，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 6．（2024下·全国·高一专题练习）已知P，Q分别为的边，的中点，若，，则点C的坐标为 ． 7．（2023上·上海普陀·高三曹杨二中校考期末）在平面直角