第03讲 向量基本定理及坐标表示（7个知识点+7种题型+强化训练）-2023-2024学年高一下学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（苏教版2019必修二）

第03讲 向量基本定理及坐标表示（7个知识点+7种题型+强化训练） 知识导图 知识清单 知识点1 平面向量基本定理 1、定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 2、基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 3、对平面向量基本定理的理解 （1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． （2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． （3）是同一平面内所有向量的一组基底，则当与共线时，；当与共线时，；当时，． （4）由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量． 知识点2 平面向量基本定理的应用 1、唯一性的应用： 设，是同一平面内的两个不共线向量， 若，则 2、重要结论 设是平面内一个基底，若， ①当时，与共线；②当时，与共线；③当时，； 知识点3 平面向量的正交分解 由平面基本定理知，平面内任意向量可以用一组基底表示成的形式，我们称为向量的分解。当所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量的正交分解。 知识点4 向量的坐标表示 1、向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.对于平面内的一个向量，有且只有一对实数、，使，把有序数对叫做向量的坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标.在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 2、始点为原点的向量坐标与其终点坐标关系：若是坐标原点，设，则向量的坐标就是终点的坐标，即若，则点坐标为，反之亦成立. 3、向量坐标的求法： ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设、，则 4、特殊向量的坐标：． 【注意】 （1）在直角坐标平面内，以原点为起点的向量，点A的位置被向量a唯一确定， 此时点A的坐标与向量a的坐标统一为(x，y)． （2）由向量坐标的定义，知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等， 即a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． （3）平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关； 应把向量坐标与点坐标区别开来，只有起点在原点时，向量坐标才与终点坐标相等． （4）当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变． 知识点5 向量线性运算的坐标表示 1、向量加减法的坐标运算：已知，则，． 结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 2、向量数乘的坐标运算：若，则； 结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。 知识点6 向量数量积的坐标表示 1、数量积坐标表示：若，，则 两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和。 2、向量垂直的坐标表示：若两个向量垂直，则 3、用坐标表示模长、距离、夹角 （1）向量的模公式：若，则 （2）两点间的距离公式：若，，则 （3）向量的交角公式：设两个非零向量，，与的夹角为， 则 知识点7 线段的定比分点与λ 设、是直线上的两点，是上不同于、的任一点，则一定存在实数，使，叫做点分所成的比.有三种情况：                                   (内分)                         (外分)()                 (外分) () （1）定比分点坐标公式：若点，，为实数，且， 则点坐标为，我们称为点分所成的比. （2）点的位置与的范围的关系： ①同向共线，这时称点为的内分点；当时，与 ②当()时，与反向共线，这时称点为的外分点. 知识复习 题型一、 平面向量基本定理 一、单选题 1．在中，，是的中线，若，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（2024下·全国·高一专题练习）下列说法中正确的是（    ） A．平面向量的一个基底中，，一定都是非零向量 B．在平面向量基本定理中，若，则 C．若单位向量，的夹角为，则在上的投影向量是 D．表示同一平面内所有向量的基底是唯一的 三、填空题 3．（2024·全国·高三专题练习）设向量是平面内一个基底，且，则向量可以用另一个基底表示，即 . 四、解答题 4．（2023·全国·高一随堂练习）如图，点B与点C关于点A对称，点D在线段OB上，，DC和OA交于点E.设，，用和表示向量，.    5．（2023上·辽宁·高三统考期中）如图，在中，是边上的中线． (1)取的中点，试用和表示； (2)若G是上一点，且，直线过点G，交交于点E，交于点F．若，，求的最小值． 题型二、平面向量基本定理的应用 一、单选题 1．（2023上·湖南岳阳·高二统考期末）在中，，则（    ） A． B