微考点5-1 新高考新试卷结构立体几何解答题中的斜体建坐标系问题-【高频考点解密】2024年高考数学二轮复习高频考点追踪与预测（新高考专用）

微考点3-1 新高考新试卷结构立体几何解答题中的斜体建坐标系问题 考点一：求直线和平面所成的角 如图，设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有．（易错点） 考点二：求二面角 如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，. 若分别为面的法向量，，则二面角的平面角或，即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角． ①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小． ②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小． ③已知和分别是二面角的半平面的法向量，记二面角的大小为，若半平面，半平面（），则当与同号时，二面角的大小等于的夹角的大小．当与异号时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小． 【精选例题】 【例1】（2024新高考新试卷结构九省联考试题）如图，平行六面体中，底面是边长为2的正方形，为与的交点，． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 【例2】如图，在三棱锥中，平面平面，，，． (1)求证：； (2)求二面角的余弦值． 【例3】如图，在三棱锥中，平面，是线段的中点，是线段上一点，，. (1)证明：平面平面； (2)是否存在点，使平面与平面的夹角为？若存在，求；若不存在，说明理由. 【例4】已知一圆形纸片的圆心为，直径，圆周上有两点.如图，，点是上的动点.沿将纸片折为直二面角，并连接. (1)当平面时，求的长； (2)若，求二面角的余弦值. 【例5】如图，在三棱柱中，平面平面. (1)若分别为的中点，证明：平面； (2)当直线与平面所成角的正弦值为时，求平面与平面夹角的余弦值. 【例6】如图，四棱锥P-ABCD中，，，，平面平面PAC． (1)证明：； (2)若，是的中点，求平面与平面夹角的余弦值．  【跟踪训练】 1.如图，矩形中，，，点，在边，上，且.将矩形沿折起至，使得，，分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 2.在直角梯形中，，，，如图（1）．把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD． (1)求证：； (2)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 3.如图，在五面体中，底面为平行四边形，平面，为等边三角形，． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 4．如图，斜三棱柱中，底面是边长为a的正三角形，侧面为菱形，且．    (1)求证：； (2)若，三棱柱的体积为24，求直线与平面所成角的大小． 5．如图，三棱锥中，，平面平面，点是棱的中点，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知. (1)求证：； (2)求二面角的余弦值. 条件①：； 条件②：直线与平面所成角为. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微考点3-1 新高考新试卷结构立体几何解答题中的斜体建坐标系问题 考点一：求直线和平面所成的角 如图，设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有．（易错点） 考点二：求二面角 如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，. 若分别为面的法向量，，则二面角的平面角或，即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角． ①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小． ②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小． ③已知和分别是二面角的半平面的法向量，记二面角的大小为，若半平面，半平面（），则当与同号时，二面角的大小等于的夹角的大小．当与异号时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小． 【精选例题】 【例1】（2024新高考新试卷结构九省联考试题）如图，平行六面体中，底面是边长为2的正方形，为与的交点，． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【小问1详解】连接，因为底面是边长为2的正方形，所以，又因为，，所以，所以，点为线段中点，所以，在中，，，所以，则， 又，平面，平面，所以平面. 【小问2详解】由题知正方形中，平面，所以建系如图所示，则， 则，， 设面的法向量为，面的法向量为，则，取，则 取，则.设二面角大小为， 则，所以二面角的正弦值为. 【例2】如图，在三棱锥中，平面平面，，，． (1)求证：； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）证明：取中点，连结，因为，所以；因为，所以； 因为平面，所以平面；因为平面，所以．                       （2）由