精品解析：浙江省临平萧山学校2023-2024学年高一上学期期末数学试题

2023学年第一学期期末学业水平测试 高一年级数学试题卷 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号（填涂）； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 选择题部分（共60分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定集合，按交集的概念求交集. 【详解】，又，所以. 故选：C 2. 若，则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，，则，即由推不出且，故充分性不成立； 若且，则，即由且推得出， 即必要性成立， 所以“”是“且”的必要不充分条件. 故选：B 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用具体函数的定义域的求法求解即可. 【详解】由且. 故选：C 4. 为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有的点（ ） A. 向左平移1个长度单位 B. 向右平移1个长度单位 C. 向左平移个长度单位 D. 向右平移个长度单位 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数图象的平移变换规律，即可求得答案. 【详解】由于， 为了得到函数的图象， 只需把函数图象上的所有的点向右平移个长度单位， 故选：D 5. 若函数是奇函数，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的奇偶性，求出时的解析式，代入求值，即得答案. 【详解】由于函数是奇函数， 故时，，则， 故， 故选：B 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同角的三角函数关系求出，判断的范围，确定，结合齐次式法求值求出，即可求得答案. 【详解】因为，故， 即，得， 则，且， 所以， 所以，则， 故， 故选：B 7. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，以与为基本量加以整理，化简后利用基本不等式算出答案. 【详解】由得，其中，， 所以， 当且仅当，即，则，时，等号成立， 故的最小值为9. 故选：D 8. 已函数，若对于定义域内任意一个自变量都有，则的最大值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由已知对的取值进行分类讨论，结合的取值范围求出函数的定义域，再结合函数的性质分别进行求解即可. 【详解】若，则恒成立，故符合题意； 若. ①当即时，，此时函数的定义域为， 所以恒成立，所以：符合题意； ②当即时，，此时函数的定义域为， 则，所以恒成立，所以：符合题意； ③当即时，函数的定义域为且 则取，则， 令，当时，，可以取得负值， 故不符合题意. 若，则函数定义域为且， 令，则. 当且时，，可以取得负值， 故不符合题意； 综上，，即的最大值为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：对的取值进行分类讨论，分别判断是否恒成立. 二、多选题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的或不选的得0分． 9. 下列各式的值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据三角函数诱导公式以及恒等变换公式，化简求值，一一判断各选项，即得答案. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B正确， 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD 10. 下列函数的值域为且在定义域上单调递增的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】结合基本初等函数的单调性及值域检验个选项即可判断. 【详解】根据幂函数的性质及函数图象的平移变换可知：在上单调递增且值域为，故A符合题意； 根据指数函数的图象和性质可得：的值域为，故B不符合题意； 根据对数函数的图象和性质可得：在上单调递增，值域为，故C符合题意； 根据反比例函数的图象和性质可知：在和上单调递增，但在定义域上不单调，故D不符合题意. 故选：AC 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，则下列叙述正确的是（ ） A. B. 函数有3个零点 C. 的最小正周期为 D. 的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由“高斯函数”的定义结合的值，即可判断A；举反例可判断B；在区间上，化简，结合余弦函数的周期性，可判断C，D； 【详解】对于A，，A正确； 对于B，当时，，则， 此时为的零点，有无数个，B错误； 对于C，在区间上，， 结合的最小正周期为，由此可得的最小正周期为，C正确， 对于D，结合C的分析可知的值域为，D正确， 故选：ACD 12. 已知函数在区间上单调递增，则下列判断中正确的是（ ） A. 的最大值为2 B. 若，则 C. 若，则 D. 若函数两个零点间的最小距离为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用函数的周期性、单调性等有关的性质逐一进行分析，判断各选项是否正确. 【详解】函数在区间上单调递增， 所以该函数的最小正周期T满足,所以， 当时，成立，所以的最大值为2，A正确； 因为在区间上单调递增， 故有：， 当时，，所以，所以，. 所以，又，故，可得.故B正确； 由于，故当时，，故C错误； 令，两个零点分别设为，， 则：， 因为，所以.故D正确. 故选：ABD 三、填空题，本题共1小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上 13. 的值为_______． 【答案】10 【解析】 【分析】根据对数和幂的运算法则进行计算可得结果. 【详解】原式. 故答案为： 14. 已知函数的定义域为，且满足，，则可以是_______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】先根据条件确定函数的奇偶性和周期性，再结合三角函数的性质可写出答案. 【详解】由题意：函数的定义域为，且，所以为奇函数； 又，所以是以2为周期的周期函数； 所以的解析式可以为：. 故答案为：（答案不唯一） 15. 已知，，则的值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】结合角的取值范围，结合同角三角函数基本关系和诱导公式求值. 【详解】因为，又，所以且. 所以； . 所以：. 故答案为： 16. 已知下列五个函数，从中选出两个函数分别记为和，若的图象如图所示，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】观察图象确定函数的定义域和奇偶性和特殊点，由此确定的解析式. 【详解】如图可知，的定义域为， 可知一定包含这一函数，且一定不包含这一函数， 又函数不是奇函数，所以不成立； 所以只有两种可能：或. 若， 当时，，，所以，与图象不符，故不成立； 若， 当时，单调递减，单调递减，所以在上递减； 当时，（当且仅当即时取“”）. 所以在上递减，在上递增，符合题意. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是熟练掌握初等基本函数的性质，从而得解. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17. 已知集合，集合 （1）当时，求； （2）若，求实数a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】当时，可得或，先求，再求其补集即可； （2）由可知，然后结合集合的包含关系即可求解. 【小问1详解】 依题意解得：，当时，或， 此时或， ； 【小问2详解】 由可知． 因为，； 当，即时，，符合题意， 当，即时，或， 则或，此时不存在； 当，即时，或， 则或，此时不存在， 所以． 18. 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角和角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点A、B两点，点A的横坐标为，点C与点B关于x轴对称． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义以及同角三角函数的基本关系、二倍角公式可求解； （2）根据三角函数的定义及两角差的余弦公式，可求解. 【小问1详解】 因为点的横坐标为，且，点在第一象限，所以点纵坐标为， 所以，. 所以. 【小问2详解】 因为，由图可知：. 而， 故（）（）， 所以. 【点睛】思路点睛：本题考查三角函数的求值问题，利用三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角公式，还有两角差的余弦公式可求解.属于中档题目. 19. 已知函数（，且）是定义在R上的奇函数． （1）求a的值； （2）若关于t方程在有且仅有一个根，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义可确定的值. （2）先确定函数的单调性，结合函数的奇偶性，班函数方程转化为代数方程，再求实数的取值范围. 【小问1详解】 因为函数是上的奇函数，所以恒成立. 所以恒成立恒成立恒成立， 即恒成立，所以. 【小问2详解】 ， 设，则 因为在上单调递增，所以， 又，所以即， 所以是上的增函数. 在上只有一解. 问题转化为：关于的一元二次方程在只有一解. 设. ①若或. 当时，，故符合题意； 当时，，故不符合题意； ②若，或，在只有一解，故符合题意； 若，方程或，在上有两解，故不符合题意； ③若，此时方程在上只有一解. 综上可知：. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性求参数，常用的方法有： （1）利用特殊点的函数值的关系求出参数的值，该方法需要验证； （2）直接利用函数奇偶性的概念求参数，该方法不需要验证. 20. 设函数 （1）求函数的对称中心； （2）若函数在区间上有最小值，求实数m的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的对称性，即可求得答案； （2）利用三角函数的诱导公式以及两角和差的正余弦公式化简，再结合余弦函数的性质，即可求得答案. 【小问1详解】 令，则， 故函数的对称中心为； 【小问2详解】 ， 函数在区间上有最小值，即区间上有最小值， 而，即需，则， 即实数m的最小值为. 21. 为了进一步增强市场竞争力，某公司计划在2024年利用新技术生产某款运动手表，经过市场调研，生产此款运动手表全年需投入固定成本100万，每生产（单位：千只）手表，需另投入可变成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.（利润=销售额-固定成本-可变成本） （1）求2024年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千只）的函数关系式． （2）2024年的年产量为多少（单位：千只）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）年的年产量为千只时，企业所获利润最大，最大利润是万元 【解析】 【分析】（1）依题意可得，再分、分别求出的解析式； （2）利用二次函数的性质和基本不等式分别求出每一段上的最大值，再取两者较大的即可． 【小问1详解】 依题意， 当时，， 当时，， 故； 【小问2详解】 若，， 当时，， 若，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，，又， 故年的年产量为千只时，企业所获利润最大，最大利润是万元． 22. 已知函数 （1）若函数有4个零点，求证：； （2）是否存在非零实数m．使得函数在区间上的取值范围为？若存在，求出m的取值范围．若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 因为函数有4个零点， 所以方程有4个不同的解， 于是方程，都各有两个不同的解， 即方程，各有两个实数根，于是； （2）存在，，理由如下： ，所以在上单调递减，在上单调递增； ①若函数在上不单调，则有，且由于，所以，与假设矛盾； ②当时，有，即，所以 所以是一元二次方程的两个不相等的实数根， 记， 有，所以， ③当时，应有，即， 两式相减得到，所以， 两式相加得：，又， ， ，与矛盾，此时满足条件的实数m不存在， 综合以上讨论，满足条件的实数m的取值范围是. 【解析】 【分析】（1）由题意得到方程有4个不同的解，即方程，各有两个实数根，根据韦达定理即可得证； （2）由题意在上单调递减，在上单调递增，对的范围进行讨论，利用根的分布和基本不等式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023学年第一学期期末学业水平测试 高一年级数学试题卷 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号（填涂）； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 选择题部分（共60分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有的点（ ） A. 向左平移1个长度单位 B. 向右平移1个长度单位 C. 向左平移个长度单位 D. 向右平移个长度单位 5. 若函数是奇函数，则（ ） A. 1 B. C. D. 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 8. 已函数，若对于定义域内任意一个自变量都有，则的最大值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 二、多选题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的或不选的得0分． 9. 下列各式的值为的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列函数的值域为且在定义域上单调递增的函数是（ ） A. B. C. D. 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，则下列叙述正确的是（ ） A. B. 函数有3个零点 C. 的最小正周期为 D. 的值域为 12. 已知函数在区间上单调递增，则下列判断中正确的是（ ） A. 的最大值为2 B. 若，则 C. 若，则 D. 若函数两个零点间的最小距离为，则 三、填空题，本题共1小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上 13. 的值为_______． 14. 已知函数的定义域为，且满足，，则可以是_______．（写出一个即可） 15. 已知，，则的值为_______． 16. 已知下列五个函数，从中选出两个函数分别记为和，若的图象如图所示，则_________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17. 已知集合，集合 （1）当时，求； （2）若，求实数a的值． 18. 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角和角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点A、B两点，点A的横坐标为，点C与点B关于x轴对称． （1）求的值； （2）若，求的值． 19. 已知函数（，且）是定义在R上的奇函数． （1）求a的值； （2）若关于t方程在有且仅有一个根，求实数k的取值范围． 20. 设函数 （1）求函数的对称中心； （2）若函数在区间上有最小值，求实数m的最小值． 21. 为了进一步增强市场竞争力，某公司计划在2024年利用新技术生产某款运动手表，经过市场调研，生产此款运动手表全年需投入固定成本100万，每生产（单位：千只）手表，需另投入可变成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.（利润=销售额-固定成本-可变成本） （1）求2024年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千只）的函数关系式． （2）2024年的年产量为多少（单位：千只）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 22. 已知函数 （1）若函数有4个零点，求证：； （2）是否存在非零实数m．使得函数在区间上的取值范围为？若存在，求出m的取值范围．若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $