2024年九年级数学中考专题训练：二次函数综合（特殊四边形问题）

2024年九年级数学中考专题训练： 二次函数综合（特殊四边形问题） 1．如图，已知抛物线（a，b为常数，且）与x轴交于两点，且，与y轴交于点C，点D为第四象限内抛物线上的动点，轴交所在直线于点E． (1)求抛物线的函数表达式和点C'的坐标； (2)若点F为y轴上一点，是否存在点D，使得以点C，D，E，F为顶点的四边形是菱形？若存在，求出所有符合条件的点D的坐标：若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线经过点，，P是直线上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P在第四象限，连接．当线段的值最大时，求的面积； (3)已知点在直线上，点M在抛物线上，点N在y轴上，在满足（2）的条件下，是否存在这样的点M，N，使以点M，N，Q，R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线l：与x轴交于和两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点M，点H为平面直角坐标系内一点，原抛物线对称轴上是否存在一点N，使以点A，M，N，H为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，请求出点N、点H的坐标；若不存在，请说明理由． 4．综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点B位于点A的右边），与y轴交于点，P是抛物线上的一动点，点P的横坐标为t． (1)求抛物线对应的函数表达式以及A，B两点的坐标； (2)连接 _____； (3)①若点P位于第四象限，过点P作轴于点F交于点E，用含t的式子表示 （不要求写出自变量取值范围）； ②过点P作，求的最大值； (4)M是抛物线对称轴上的一点，是否存在以点B，C，P，M为顶点的四边形是平行四边形，若存在直接写出t的值，若不存在请说明理由． 5．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，是上方抛物线上的一个动点，其横坐标为．连接，，． (1)求直线的解析式． (2)当的面积等于时，求的值． (3)在（2）的条件下，若是轴上一动点，是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以，，，为顶点的四边形是以为边的平行四边形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图1，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点P、Q为直线下方抛物线上的两点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，过点P作轴，交于点M，过点Q作轴交于点N，求的最大值及此时点Q的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B、C、D、E为顶点的四边形是矩形，且为矩形一边，求出此时所有满足条件的点E的坐标． 7．如图，抛物线交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C，点P是抛物线上的一动点，已知点，，且． (1)求抛物线和直线的表达式． (2)若点P在直线的上方，过点P作，与交于点E，垂足为点F，当时，求点P的坐标． (3)若点M为x轴上一动点，当B、C、P、M四个点组成的四边形是平行四边形时，请直接写出点P的坐标． 8．如图，抛物线的顶点A在直线上，直线与抛物线的另一个交点为点B，与y轴的交点为C．    (1)若点B与点C重合时，求此时抛物线的解析式； (2)移动点A，另一个交点B，也随之移动，试求出AB的长； (3)在抛物线上是否存在一点P，使得由A，B，O，P四个点构成的四边形为平行四边形；若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，说明理由． 9．如图1，抛物线与直线相交于点B和C，点B在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点为直线上方抛物线上一动点，于点轴于点，交于点，求周长的最大值以及点的坐标； (3)在（2）的结论下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线的顶点为，平面内有一点，以点为顶点的四边形是平行四边形，请先求得点M的坐标，再直接写出点的坐标． 10．如图，抛物线经过点，，点P是直线上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P在第二象限，连接．当线段最长时，求的面积及点Q的坐标； (3)已知点在直线上，点M在抛物线上，点N在y轴上，在满足（2）的条件下，是否存在这样的点M、N，使以点Q、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求点M的坐标的其中一种情况的过程；若不存在，请说明理由． 11．已知抛物线 与轴交于， B两点， 与y轴交于点 (1)求抛物线的函数解析式； (2)P是y轴左侧抛物线上一动点(不与点B，C 重合)，过点P作 轴， 垂足为D， 连接． ①如图①，若点