北京市2024年高三一轮模拟数学试题（一）

北京市2024年高三一轮模拟数学试题（一） 一、单选题 1．已知集合，且，则a可以为（    ） A．－2 B．－1 C． D． 2．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 3．抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知，则的最小值为（    ） A．－2 B．0 C．1 D． 5．在中，，，，则（    ） A． B．4 C． D． 6．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 8．已知正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD内部（不含边界）的动点，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．已知，，，，成等比数列，且1和4为其中的两项，则的最小值为（    ） A．－64 B．－8 C． D． 10．恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就.其中对数的发明曾被十八世纪法国数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数N的70次方是一个83位数，则由下面表格中部分对数的近似值（精确到0.001），可得N的值为（    ） M 2 3 7 11 13 0.301 0.477 0.845 1.041 1.114 A．13 B．14 C．15 D．16 二、填空题 11．若复数，则 . 12．函数的值域为 ． 13．经过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于A，B两点，若，则（O为坐标原点）的面积为 ． 14．在中，，，． （1）若，则 ； （2）当 （写出一个可能的值）时，满足条件的有两个． 15．某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间的变化遵循兰彻斯特模型：，其中正实数，分别为红、蓝两方初始兵力，t为战斗时间；，分别为红、蓝两方t时刻的兵力;正实数a，b分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数；和分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数．规定当红、蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为T．给出下列四个结论： ①若且，则； ②若且，则； ③若，则红方获得战斗演习胜利； ④若，则红方获得战斗演习胜利． 其中所有正确结论的序号是 ． 三、解答题 16．如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E分别为AC，的中点，，． (1)求证：平面BDE； (2)求直线DE与平面ABE所成角的正弦值； (3)求点D到平面ABE的距离． 17．设函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在． (1)求函数的解析式； (2)求在区间上的最大值和最小值． 条件①：； 条件②：的最大值为； 条件③：的图象的相邻两条对称轴之间的距离为． 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分． 18．某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竟答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下： 性别 人数 获奖人数 一等奖 二等奖 三等奖 男生 200 10 15 15 女生 300 25 25 40 假设所有学生的获奖情况相互独立． (1)分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率； (2)用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以X表示这2名学生中获奖的人数，求X的分布列和数学期望； (3)用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高一男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高一女生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为，试比较与的大小．（结论不要求证明） 19．已知函数． (1)求的单调区间； (2)若对恒成立，求a的取值范围； (3)证明：若在区间上存在唯一零点，则． 20．已知椭圆经过点． (1)求椭圆E的方程及离心率； (2)设椭圆E的左顶点为A，直线与E相交于M，N两点，直线AM与直线相交于点Q．问：直线NQ是否经过x轴上的定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，说明理由． 21．已知有穷数列满足．给定正整数m，若存在正整数s，，使得对任意的，都有，则称数列A是连续等项数列． (1)判断数列是否为连续等项数列？是否为连续