精品解析：北京市第一六一中学2023-2024学年高三下学期开学测试数学试卷

北京一六一中学2023—2024学年度第二学期开学测试 高三数学试卷 考 生 须 知 1．本试卷共3页，满分150分，考试时长120分钟． 2．试题答案一书写在答题纸上，在试卷上作答无效． 3．在答题纸上，选择题用2B铅笔作答，非选择题用黑色字迹签字笔作答． 4．考试结束后，将答题纸、试卷和草稿纸一并交回． 一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．把正确答案涂写在答题卡上相应的位置． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数z满足，则复数z的虛部是（ ） A. B. 3 C. 1 D. 0 3. 已知函数，则不等式解集为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 6. 设为正整数，的展开式中存在常数项，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 已知，，，则（ ） A. B. C D. 8. 若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知数列满足，其中为常数，则“”是“是等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 已知向量满足，则的最大值是（ ） A B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，共25分，把答案填在答题纸中相应的横线上． 11. 函数的零点是______________． 12. 已知双曲线的渐近线与圆相切，则_________. 13. 已知函数，如图是直线与曲线的两个交点，若，则____________，____________． 14. 设抛物线的焦点为F，准线为l．斜率为的直线经过焦点F，交抛物线C于点A，交准线l于点B（A，B在x轴的两侧）若，则抛物线的方程为______． 15. 已知正方体的棱长为1，是空间中任意一点．给出下列四个结论： ①若点在线段上运动，则始终有； ②若点在线段上运动，则过，，三点的正方体截面面积的最小值为； ③若点在线段上运动，三棱锥体积为定值； ④若点在线段上运动，则的最小值为． 其中所有正确结论序号有________． 三、解答题：本大题共6小题，共85分，把答案填在答题纸中相应的位置上． 16. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足． （1）求角A的大小； （2）试从条件①②③中选出两个作为已知，使得存在且唯一，写出你的选择___________，并以此为依据求的面积．(注：只需写出一个选定方案即可) 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17. 某学校体育课进行投篮练习，投篮地点分为区和区，每一个球可以选择在区投篮也可以选择在区投篮，在区每投进一球得2分，没有投进得0分；在区每投进一球得3分，没有投进得0分.学生甲在，两区的投篮练习情况统计如下表： 甲 区 区 投篮次数 得分 假设用频率估计概率，且学生甲每次投篮相互独立． （1）试分别估计甲在区，区投篮命中概率； （2）若甲在区投个球，在区投个球，求甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率； （3）若甲在区，区一共投篮次，投篮得分的期望值不低于分，直接写出甲选择在区投篮的最多次数．（结论不要求证明） 18. 如图，多面体中，四边形为矩形，，，，，，． （1）求证：⊥； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求出的值，使得，且到平面距离为． 19. 已知函数（为自然对数的底数） （1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值； （2）求函数的极值； （3）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值. 20. 已知椭圆． （1）求椭圆E的离心率和短轴长； （2）设直线与椭圆E相切于第一象限内的点P，不过原点O且平行于的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，点A关于原点O的对称点为C．记直线OP的斜率为，直线BC的斜率为，求的值． 21. 对于数列，，…，，定义变换，将数列变换成数列，，…，，，记，，．对于数列，，…，与，，…，，定义．若数列，，…，满足，则称数列为数列． （1）若，写出，并求； （2）对于任意给定的正整数，是否存在数列，使得若存在，写出一个数列，若不存在，说明理由： （3）若数列满足，求数列A的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$