6.3 实数(知识精讲+典题精练)-2023-2024学年七年级下册数学高频易错重难点培优讲义（人教版）

6.3 实数 ( 板块一：知识精讲 ) 1．实数与数轴 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系． 任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 2．实数大小比较 实数大小比较 （1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小． （2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 3．估算无理数的大小 估算无理数大小要用逼近法． 思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 4．实数的运算 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 【规律方法】实数运算的“三个关键” 1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等． 2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． ( 板块二：典题精练 ) 一．选择题（共10小题） 1．下列实数中的无理数是（　　） A．0.5050050005 B． C．﹣π D． 2．如图，根据尺规作图痕迹，判断点M在数轴上表示的数是（　　） A． B． C． D． 3．规定新运算“*”：对于任意实数a、b都有a*b＝ab2﹣a﹣b2，例如：2*5＝2×52﹣2﹣52＝23，若（1﹣2x）*3＝15，则x的值为（　　） A． B． C．﹣1 D．1 4．估算的值在（　　） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 5．估计的值在（　　） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 6．在实数：3.14159，1.010010001…，4，π，中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．下列整数中，与最接近的是（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 8．在实数，，，，0中，无理数的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A和点B，则点A表示的数是（　　） A． B． C． D． 10．下列各数中，是无理数的是（　　） A．1 B． C．0 D． 二．填空题（共6小题） 11．在实数，，，中，无理数有 　 　个． 12．如图所示，为了在数轴上找到表示无理数π的点，小王同学制作了一个以A为圆心，m为半径的圆，并在此圆上标记一个点B，将点B与原点重合．若让此圆在数轴上向右滚动一周后，点B就是数轴上表示无理数π的点，则m＝　 　． 13．在实数，0，，π﹣1，中，无理数有 　 　个． 14．如图，数轴上点A表示的实数是，直径为1个单位长度的圆从点A沿数轴向右滚动2周，圆上的点A到达点B处，则点B表示的数是 　 　． 15．比较实数的大小：3 　 　（填“＞”、“＜”或“＝”）． 16．实数和数轴上的点是一一对应的，你能找到下面数轴上的两个点表示的实数吗？ （1）如图，半径为1个单位长度的圆沿数轴从实数﹣1对应的点向右滚动一周，圆上的A点恰好与点B重合，则点B对应的实数是 　 　． （2）如图，数轴上的点A表示原点，BD⊥AC，垂足为D，且BD＝1，以A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为 　 　． 三．解答题（共6小题） 17．已知3a+2的立方根是﹣1，2a+b﹣1的算术平方根是3，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 18．现定义新运算“⊙”，对于任意两个实数a，b，规定a⊙b＝ab﹣2a﹣2b． （1）计算：3⊙5； （2）若a⊙（3⊙k）的取值与a无关，